Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Пусть на вход СМО, имеющей n каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью X. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна//, а максимальное число мест в очереди равно m. Граф такой системы представлен на рис.8.

Очереди нет Очередь есть

А

2ju

n

X А,

n

Ьп+т

Л

Рис.8

S0 - все каналы свободны, очереди нет;

S_l- заняты l каналов (l = 1,n), очереди нет;

S_n+i- заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Сравнение графов на рисунках 3 и 8 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

S0 → S₀; S_g → S_n+m; S_k → Sl, (k = 1, n); S_k → S_n+i , (k = n,n + m);

4t-»A ( k = 0,n + m-1); |

fi_k^(k + 1)fi, (k = 0, n -1); ^^n^(k = n,n + m-1)\. ( . 1)

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (3.2) и (3.3) с учётом (8.6). В результате получим:

^ 1! 2! n ! n-n ! n -n ! n m -n !)

(9.2)

p k = k ₀ , ( k = 1,n) ; p n₊1 = i----- p ₀ , ( i = 1,m) . (9.3)

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все n каналов заняты, т.е. когда в системе будет находиться либо n, либо n + 1,…, либо (n + m - 1)заявок. Так как эти события несовместимы, то вероятность образования очереди р_оч равна сумме соответствующих вероятностей p _n, p _n+1,…, p _n+m-1:

^ рⁿ 1 -(p/n)^m

p_оч= ^{m 1} p_{n + i}= n !-^±p0. (9.4)

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.

р_отк=p_n+m = nn ! p0. (9.5)

Относительная пропускная способность равна

Q = p =1-р =1-_mp₀,

а абсолютная пропускная способность –

A = A-Q=A-(1- n _m^n+m n! p 0X(9.7)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (4.8) и может быть записано в виде

L = ^m ip₊i=^-1- 1 [1 + m(1-^P/n)] p0. (9.8)

_{i =1} n-n! (-p/n)

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде

L _обс= A'- n n ! (9.9)

Среднее число заявок, находящихся в СМО, равно

L_смо = L_оч + L_обс. (9.10)

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (4.9) и (4.10).

При/) = n в формулах (9.2), (9.4), (9.8) возникает неопределённость типа 0/0. В этом случае, раскрывая неопределённость можно получить:

(9.11)

p_k=—p'₀, (k = 1,n); p_n+i=—p'₀, (i = 1,m), (9.12)

nn .

pоч ~^pоч =m-n p ₀,

_nn m{m + 1) ,
L_оч^L_{о ч}-— p ₀, (9.14)

(9.15)

Пример 10.На склад в среднем прибывает 3 машины в час. Разгрузку осуществляют 3 бригады грузчиков. Среднее время разгрузки машины - 1час. В очереди в ожидании разгрузки могут находиться не более 4-х машин. Дать оценку работы СМО.

Решение.Имеем: n = 3, X = 3 час-¹, /л = 1 час-¹,р = X//л = 3, m = 4. Так как/) = n, то р₀ -вероятность отсутствия машин на складе, находим по формуле (9.11):

I3 3 3 3 |1

р₀= 1 + —+ —+ —+---4 = — «0,032,

^1! 2! 3! 3! J31

т.е. грузчики работают практически без отдыха.

По формуле (9.5) находим вероятность отказа в обслуживании прибывшей на склад машины:

3³⁺⁴ 1 9 р_о= 3 3!-=-*0,145.

Т.е. вероятность отказа не столь велика. Относительная пропускная способность равна

Q = pобс = 1 - ротк ≈ 1 - 0,145 = 0,855. Среднее число машин в очереди находим по формуле (9.14):

L =--------------= — «1,45 машин, т.е. существенно меньше m = 4.

3! 2 31 31

Среднее время пребывания машины на складе находим по формуле (4.9):

t_сm = ^{L оч} + Q«I--------+ ^0,—час «1,34 часа, что сравнимо со средним временем