Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

А.

Х_

1.

JU

А.

JU

А.

S1

S₂

S(+1

~jT *fr

V~

…

"Jr

Sm+1

Рис.6

Состояния СМО представляются следующим образом:

5₀ - канал обслуживания свободен,

5₁ – канал обслуживания занят, но очереди нет,

5₂ – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

k+1

канал обслуживания занят, в очереди k заявок,

S_m+1 - канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты.

Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что СМО на рис.6 является частным случаем системы рождения и гибели (рис.3), если в последней принять g = m + 1 и

λ_i = λ, μ _i = μ, (i = 0,m). (7.1)

Выражения для финальных вероятностей состояний рассматриваемой СМО можно найти из (3.2) и (3.3) с учётом (7.1). В результате получим:

р₀ =(1 + ρ + ρ² +...ρ ^m+1)^-1 =--------ρ ; (7.2)

p _k = ρ ^k · p ₀, ( k = 1,m + 1) (7.3)

При ρ = 1 формулы (7.2), (7.3) принимают вид

p0=pk=--- , (k = 1,m + 1). (7.4)

m + 2

При m = 0 (очереди нет) формулы (7.2), (7.3) переходят в формулы (5.1) и (5.2) для одноканальной СМО с отказами.

Поступившая в СМО заявка получает отказ в обслуживании, если СМО находится в состоянии S_m+1, т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна

p _отк = рm+1 = ρ ^m+1p0. (7.5)

Относительная пропускная способность СМО равна

Q = pобс = 1 - ротк = ρ ^m+1p0, (7.6)

а абсолютная пропускная способность равна

A = λ·Q = λ ·(1 - ρ^m+1p0). (7.7)

Среднее число заявок, стоящих в очереди L_оч, находится по формуле (4.8)

Lоч = 1· р ₂ + 2· р ₃ +…+m · p_m+1 и может быть записано в виде

2 1- ρ^mm⋅(1- ρ)+1]
Lоч=ρ [ ₂⋅p0. (7.8)

(1-ρ )

При ρ = 1 формула (7.8) принимает вид

m(m + 1)
L′=---------, (ρ = 1). (7 9)

2(m + 2)

L_обс- среднее число заявок, находящихся в СМО, находится по формуле(4.7)

L_обс = 1· р ₁ + 1· р2 + 2·р3 +…+m·p_m+1 = р ₁ + L_оч и может быть записано в виде

1- ρ^m[m(1- ρ)+1]

(1- ρ) При ρ = 1, из (7.10) получим:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам (4.9) и (4.10) соответственно.

Пример 8 .Магазин посещает в среднем 90 человек в час. Имеющийся один кассир обслуживает в среднем одного покупателя в минуту. Очередь в зал обслуживания ограничена 5 покупателями. Оценить эффективность работы СМО.

Решение.Имеем: X = 90 час-¹ = 1,5 мин-¹, /л = 1 мин-¹, р = X//л = 1,5, m = 5. По формулам (7.2) и (7.5) находим р₀ и р _отк :

= 0,031,

1-р^m+2 1-(1,5)⁷

ротк = р^m+1 · p ₀ ≈ (1,5)⁶ · 0,031 ≈ 0,354, т.е. 35,4% покупателей получают отказ в обслуживании, что недопустимо много. Среднее число людей, стоящих в очереди, находим по формуле (7.8)

L_m«(1,5) 2-------(1,5)⁵5(1 2 1,5)i.0,031«3,457.

(1-1,5)²

Среднее время пребывания в

3,457

t_m= —^=---------мин х2,3 мин,

т.е. t^ не очень большое. Увеличение очереди до m = 10 даёт

p ₀ ≈ 0,0039, p_отк ≈ 0,0336, т.е. не приводит к заметному уменьшению отказов в обслуживании. Вывод: необходимо посадить ещё одного кассира, либо уменьшить время обслуживания каждого покупателя.

Примером такой СМО может служить директор предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром. Граф такой СМО изображён на рис. 7.

S0

А

м

S1

А

S2

X X |

…

м

S/с+1

X

м

…

Рис. 7

Все характеристики такой СМО можно получить из формул предыдущего раздела, полагая в них m → ∞ . При этом необходимо различать два существенно разных случая: а) р ≥ 1; б) р < 1. В первом случае, как это видно из формул (7.2), (7.3), p₀ = 0 и p_k = 0 (при всех конечных значениях k). Это означает, что при t → ∞ очередь неограниченно возрастает, т.е. этот случай практического интереса не представляет.

Рассмотрим случай, когдар < 1. Формулы (7.2) и (7.3) при этом запишутся в виде

р ₀ = 1 -р, (8.1)

рk = p^k · (1 -p), k = 1, 2,… (8.2)

Поскольку в СМО отсутствует ограничение на длину очереди, то любая заявка может быть обслужена, т.е. относительная пропускная способность равна

Q = p_обс = 1.

Абсолютная пропускная способность равна

А = Х· Q = X. Среднее число заявок в очереди получим из формулы(7.8) при m → ∞

ρ² 1-ρ

Среднее число обслуживаемых заявок есть

L₀5c=ρ ⋅Q = ρ,

а среднее число заявок, находящихся в СМО, равно

L_Cм_O=L_m+L_o6c =

(8.3) (8.4)

(8.5) (8.6) (8.7)

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами(4.9) и (4.10).

Пример 9.В билетной кассе работает один кассир, обслуживающий в среднем двух покупателей за одну минуту. Каждый час в среднем приходят покупать билеты 90 посетителей. Провести анализ работы СМО.

Решение.Имеем: X = 90 час-¹ =1,5 мин-¹, pi = 2 мин-¹, p = X/ju = 0,75. По формуле (8.1) найдём p₀

p ₀ = 1 -р= 1 - 0,75 = 0,25,

т.е. 25% времени кассир не занимается продажей билетов. Средняя длина очереди равна

= 2,25 покупателя,

1 - ρ 1 - 0,75 а среднее число покупателей, находящихся в СМО (т.е. у кассы), равно

0,75

СмО

1 - ρ 1 - 0,75

Среднее время нахождения покупателя в СМО найдём по формуле (5.9):

Lмo_ 3

= 2 мин,

λ

что вполне приемлемо.