Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна λ, а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна μ. Размеченный граф состояний системы изображён на рис. 5.
S0
λ
μ
S1
λ
2 μ
S2
λ λr-
*… >
3 μ k μ_
Sk
λ
(k+1) μ
Sk+1
λ
λ
___ *… >S
(k+2) μ n μ
Рис. 5
Состояние S0 означает, что все каналы свободны, состояние Sk(k = 1,n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью λ независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина k μ характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).
Сравнивая графы на рис. 3 и на рис. 5 легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять g = n и
(6.1) воспользоваться
(6.2) (6.3)
Л.
= Я, (i = 0,n -1);
/иk=(k + 1)/и, (k = 0,n-1).
можно
При этом для нахождения финальных вероятностей формулами (3.2) и (3.3). С учётом (6.1) получим из них:
p0=(1 + pk = — -p0,k !
Р
1!
2!
+ ... + —) 1 ; n !
(k = 1,n).
Формулы (6.2) и (6.3) называются формулами Эрланга - основателя теории массового обслуживания.
Вероятность отказа в обслуживании заявки ротк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии Sn. Таким образом,
ротк = рn = Р—. p0. Относительную пропускную способность СМО найдём из (4.5) и (6.4):
Q = pобс = 1 - ротк = 1 - Р— ■ p0.
Абсолютную пропускную способность найдём из (4.6) и (6.5):
(6.4)
(6.5)
А = A-Q
■ p0
(6.6)
Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти по формуле (4.7), однако сделаем это проще. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем /л заявок, то n 3 можно найти по формуле:
рn
n
(6.7)
n3 A^-p 0
Пример 7.Найти оптимальное число телефонных номеров на предприятии, если заявки на переговоры поступают с интенсивностью 1,2 заявки в минуту, а средняя
продолжительность разговора по телефону составляет to6c = 2 минуты. Найти также
вероятность того, что в СМО за 3 минуты поступит: а) точно 2 заявки, б) не более 2-х заявок.
Таблица
n
р 0
0,294
0,159
0,116
0,1
0,094
0,092
ротк
0,706
0,847
0,677
0,406
0,195
0,024
робс
0,294
0,153
0,323
0,594
0,805
0,976
n3
0,706
0,367
0,775
1,426
1,932
2,342
К 3
0,706
0,184
0,258
0,357
0,386
0,391
А [мин-1]
0,353
0,184
0,388
0,713
0,966
1,171
Решение.Имеем: X = 1,2 мин-1, ju= 1/t = 0,5 мин-1, p=X/ju = 2,4. Оптимальное число каналов n неизвестно. Используя формулы (6.2) - (6.7) найдём характеристики СМО при различных значениях n и заполним таблицу 1.
Оптимальным числом телефонных номеров можно считать n = 6, когда выполняется 97,6% заявок. При этом за каждую минуту обслуживается в среднем 1,171 заявки. Для решения 2-го и 3-го пунктов задачи воспользуемся формулой (4.1). Имеем:
-0,177,
б) р<2(3)=р0(3)+р1(3)+р2(3) =
+ 1,2 -3 ( 1,2 • 3 )
1! 2!
-1,2-3
«0,03.
2 ^
В СМО с ограниченной очередью число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО. Граф такой СМО представлен на рис.6.