Основные понятия и классификация систем массового обслуживания.
Заявкой (или требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.
Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.
Поступление заявки в СМО называется событием. Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок. Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется
Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим условиям:
1)отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;
2)стационарность, т.е. вероятность поступления данного числа заявок на любом временнóм отрезке [t1, t2] зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t1, что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени, "к, называемом интенсивностью потока заявок;
3)ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.
Для простейшего потока вероятность pi(t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле
pi(t) = Ш)i e -^, (4.1)
i!
т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром Xt. По этой
причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.
Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя
последовательными заявками по определению равна F(t) = P(T < t). Но P(T<t)=1 - P(T≥t),
где P(T ≥ t) - вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО
по истечении времени t, т.е. за время t в СМО не поступит ни одна заявка. Но
вероятность этого события находится из (4.1) при i = 0. Таким образом,
P(T >t) = р0(t)=e-λt(4.2)
и F(t) = 1 - e-λt. (4.3)
Плотность вероятности f ( t ) случайной величины T определяется формулой
f(t) =F't(t) = Xe-Xt, (t > 0),
а математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно
M (T) = —; D(T) =
1; d(T) = 12; °(T) = ^. (4.4)
IF; X
Пример 4.В справочное бюро обращается в среднем 2 человека за 10 минут. Найти вероятность того, что за 30 минут за справкой обратится:
а) 4 человека, б) не менее 3-х человек.
Решение.Интенсивность потока заявок равна λ = 2/10 мин = 0,2[мин-1]. Для решения используем формулу (4.1), где полагаем t = T = 30 минут; для пункта (а) i = 4, для пункта (б) i = 3, 4, 5,… .
а) P 4 (T) =---------------) е -0,2-30 = —е -6 ~0,134 ;
4! 24
б) при решении этого пункта целесообразно использовать противоположную вероятность:
Пример 5.В приборе имеются два блока, работающих независимо друг от друга. Время безотказной работы определяется показательным законом. Среднее время безотказной работы 1-го блока - t1 = 2 года, 2-го - t2 = 1 год. Найти вероятность того, что за 1,5 года: а) не откажет ни один из блоков; б) откажет только 2-й блок; в) откажут оба блока.
Решение:В качестве события выступает неисправность какого-то блока. Вероятность p(i) (t) исправности i-го блока в течение времени t определяется формулой
(4.2), т.е.
p(1)(t) = e-A.1t, p(2)(t) = e-^t,
где λ 1= 1/t1 = 0,5[год-1], λ2 = 1/ t 2= 1[год-1]. Вероятности исправности блоков по истечении времени t = Т= 1,5 года будут равны соответственно
p(1) = г-Х{Г= е-05'1,5 «0,472, p(2) = е-^= е-11,5 «0,223. Вероятность того, что за время Т z-й блок выйдет из строя, является противоположной вероятностью p(') (Т):
Обозначим через А, В, С события, фигурирующие в пунктах (а), (б), (в) соответственно и учитывая, что блоки работают независимо друг от друга, найдём:
а) p(A) = p(1)(Т) •p(2)(Т) «0,472 •0,223 «0,1;
б) p(В) = p(1)(Т) •p(2)(Т) «0,472 •0,777 «0,367;
в) p(С) = p(1)(Т) •p(2)(Т) «0,528 •0,777 «0,41.
Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания - многоканальной (например, 3 кассы на вокзале).
Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами (примером такой СМО может служить АТС).
Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Примером первых СМО может служить мойка для автомашин с маленькой стоянкой для ожидающих машин, а примером вторых СМО может служить билетная касса или метрополитен.
Возможны также СМО смешанного типа, когда, например, заявка может вставать в очередь, если она не очень велика, и может находиться в очереди ограниченное время и уйти из СМО не обслуженной.
Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО (билетные кассы, очередь в булочной). В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей - наладчиков, обслуживающих станки на заводе).
СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания: обслуживаются ли заявки в порядке поступления, случайным образом или вне очереди (с приоритетом).
СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы. п - число каналов в СМО; X - интенсивность поступления в СМО заявок; /л– интенсивность обслуживания заявок; p = X//i- коэффициент загрузкиСМО; т - число мест в очереди;
ротк- вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;
Q ≡ pобс - вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способностьСМО); при этом
Q = p обс= 1 - ротк; (4.5)
А - среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способностьСМО)
А = λ ·Q; (4.6)
Lсмо- среднее число заявок, находящихся в СМО;
n3 - среднее число каналовв СМО, занятых обслуживанием заявок. В то же время это
Lобс- среднее число заявок, обслуживаемых СМО за единицу времени. Величина n3
определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов:
nm
n3 =M(n) = Y,k-pk+Y,n-pn+i , (4.7)
k = 1 i = 1
где р k- вероятность системы находиться в Skсостоянии; K3 =n3/n - коэффициент занятости каналов; tож- среднее время ожидания(обслуживания) заявки в очереди, v = 1/tож - интенсивность потока ухода заявок из очереди.
Lоч- среднее число заявок в очереди(если очередь есть); определяется как математическое ожидание случайной величины m - числа заявок, состоящих в очереди
m
Lоч = M(m) = X!i"pn+i, (4.8)
где p n+i - вероятность нахождения в очереди i заявок; Tсмо=t смо - среднее время пребывания заявкив СМО;
Tоч. =t оч. - среднее время пребывания заявки в очереди(если есть очередь); Для открытых СМО справедливы соотношения
tсмо = L*= L + Q , (49)
tоч = оч., (4.10)
называемые формулами Литтла и применимые только для стационарных потоков заявок и обслуживания.
Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (4.3), а все потоки являются простейшими.
§ 5. Одноканальная СМО с отказами.
Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рис.4.
S0
S1
Рис. 4
Здесь λ и μ - интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы S0обозначает, что канал свободен, а S1 - что канал занят обслуживанием заявки.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид (см. пример 3)
0 = - λp0(t) + μp1 (t),
1 = λp0(t) - μp1 (t), p0(t) + p1(t ) = 1,
где p0(t ) и p 1( t ) - вероятности нахождения СМО в состояниях S0 и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей p0и p 1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:
p0 =μ =------------, (5.1)
μ+λ = 1+ρ
λ
ρ
.
=
p1 =
(5.2)
μ+λ1+ρ
Вероятность p0по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки pобс, т.к. канал является свободным, а вероятность р1по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки ротк, т.к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки. Остальные характеристики СМО найдём, рассмотрев конкретный пример.
Пример 6.Секретарю директора завода поступает в среднем 1,2 телефонных вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет 2 минуты. Найти основные характеристики СМО и оценить эффективность её работы.
Решение:По условию λ = 1,2 (мин)-1, μ = 2(мин)-1, откуда ρ = λ / μ = 0,6. По формулам (5.1) и (5.2) находим робс и ротк:
ρ
= 0,625; pотк = p 1=------------
звонков, что нельзя считать
= 0,375
.
обслуживается
Таким образом, обслуживается лишь 62,5% удовлетворительным. Абсолютная пропускная способность СМО
А = λQ = λ pобс = 1,2·0,625(мин)-1 = 0,75(мин) т.е. в среднем обслуживается 0,75 звонка в минуту.
