Процессы рождения и гибели.

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис. 3.

S0

λ ₀

μ₀

S1

λ ₁

μ₁

…

4----- --------- <—

μg-2

λ

μg-1

Здесь величины λ₀, λ₁,…, λ_g-1 - интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины μ₀, μ ₁,…, μ _g-1 - интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, втекающий в данное состояние должен равняться потоку, вытекающему из данного состояния. Таким образом, имеем:

для состояния S0 :

p ₀·X₀Δt = p₁·ju 0Δt; => X₀ p₀ = pi ₀ p1;

для состояния S1:

р ₁·(h + pi 0)Δt = p0·X₀Δt + p₂·jU1·Δt;^> (X₁ + pi₀) p1 = X₀ p0 + pi1p₂.

Последнее уравнение с учётом предыдущего можно привести к виду Х₁ p₁ = pi₁p₂. Аналогично можно получить уравнения для остальных состояний системы. В результате получится система уравнений:

Л₀p₀ = М₀p₁, Л₁p₁ = р₁p₂,

-----------------------------

p_k=M_kp_k+1,

-----------------------------

g-1pg-1 = ^g-1pg,

p₀ + p₁ +... + p_g =1.

Последнее уравнение в (3.1) является очевидным условием (2.2). Решение системы уравнений (3.1) имеет вид:

p0 = 1 +

г л₀л щ ЛЛ^₂---^-1

М0М1 М0М1/г₂

-1

.

(3.2)

л₀л₁л₂

p ₁= 0 p0; p2 = p0; p3 =

М₀ /А₀/Л /А₀/А/^2

p₀;...; p_g =

КК...К

P₀Pv..P_{g -1}

(3.3)