(Необходимое условие точки перегиба)
Пусть график функции у=¦(х) имеет перегиб в т. М0 (
;
) и функция ¦(х) имеет в т. неперерывную вторую производную тогда 
.
Док-во: Предположим обратное, 
, тогда в силу непрерывности 
существует окрестность т. , в которой >0 или же <0 , т.е. в которой сохраняет постоянный знак . Следовательно в указанной окрестности график сохраняет определённое направление выпуклости, что противоречит наличию перегиба в т. это полученное противоречие доказывает теорему.
Q. e. d.
Точки графика для которых будут называться критическими точками графика (но не функции).
Необходимо дополнительно исследовать вопрос о существовании перегиба в каждой критической точке.
Теорема 8
(Достаточное условие точки перегиба)
Пусть функция ¦(х) имеет на некоторой окрестности т. , тогда, если в указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от т. ,то график функции у=¦(х) имеет перегиб в т. М0 (;)
Док-во:
Т.к. имеет разные знаки слева и справа от , то график функции у=¦(х) имеет слева и справа разный характер выпуклости, следовательно т. М0 (;) –точка перегиба графика. Q. e. d.
Доказанная теорема остаётся верной, если ¦(х) имеет в некоторой окрестности т. , кроме самой точки и существует касательная в т. М0 (;)
Док-во аналогично док-ву теоремы 8.
Т.о. вопрос об интервалах выпуклости, вогнутости и точках перегиба решаются с помощью второй производной.
