Производная и дифференциал длины дуги.

Теорема

Бесконечно малая выпуклая дуга эквивалентна стягивающей её хорде.. (1)

Док-во: Т

М’’ М’

М

МТ- касательная

Из т. М радиусом, равным хорде ММ’ проведём окружность М’ М’’ – дуга окружности МТ – касательная к дуге ММ’

Рассмотрим неравенство:

Разделив на ММ’, получим:

(А)

т.к. касательная МТ является предельным положением секущей , то, тогда, переходя в неравенстве (А) к пределу при , получим по теореме о промежуточной переменной равенство (1), т.е. эквивалентно .

Q. e. d.

Рассмотрим теперь линию с уравнением у=у(х) (то самое, что у=¦(х)), где у=у(х) дифференцируемая функция.

М’

у М

М₀

х

За положительное направление на линии примем то направление, в котором абсцисса х возрастает, т. М₀ примем за начало отсчёта длин дуг, тогда всякая точка М будет иметь дуговую координату с определённым знаком, в зависимости от расположения т. М относительно М₀ . Очевидно: . Найдём производную и дифференциал этой функции.

(2)

по доказанной теореме , заменяя в (2) бесконечно малую дугу на эквивалентную ей хорду , получим:

(3)

отсюда дифференциал длины дуги будет:

(4) (5)

из формулы (5) ясен геометрический смысл дифференциала дуги, он равен отрезку касательной МР:

P

T

ds dy

M

Если линия, заданная параметрически , то выбирая за «+» направление такое, в котором возрастает параметр (тогда ), тогда будем иметь:

(6).

Формула (4) является частным случаем формулы (6), если за параметр взять абсциссу х, т.е. .

Другой частный случай формулы(6) получается, если в качестве параметра взять полярный угол , т.е. задать линию в полярных координатах , причем:

, , вычисляя производные и и внося их в формулу (6) получим:

(7)

у

М(r;j)

r

j

0 х