Понятие выпуклости графика функции на промежутке.

Пусть функция ¦(x) дифференцируема на промежутке , это значит, что существует касательная к графику функции в любой т. Ми эта касательная не параллельна оси ординат, т.к. её угловой коэффициент ¦¢(x) конечен.

Определение

Говорят, что график функции выпуклый вверх (resp. вниз) на промежутке Х, если он расположен не выше (не ниже) любой касательной к графику на промежутке Х

а в а в

Из определения следует, что на участке выпуклости или вогнутости касательные к графику не пересекаются с графиком и имеют с ним лишь точки касания.

Теорема 6 (Достаточное условие выпуклости)

Если функция ¦(x) имеет на промежутке Х вторую производную и ¦¢(x) ³ 0 ( resp. ¦¢(x)¢£0) на C, то график функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во: Рассмотрим случай ¦¢(x) ³ 0 для " x ÎC

¦(х)

M T

Y

y

a с х в

пусть т. с – произвольная точка, принадлежащая Х. Требуется доказать график функции ¦(х) лежит не ниже касательной , проходящей через т. М(с; ¦ (с)).

Уравнение касательной Т :

U=¦(с)+¦¢(с)×(х-с) (A)

Разложим функцию у=¦(х) в окрестности т. с по формуле Тейлора с n=1:

у=¦(х)=¦ (с)+(В)

где т.x находится между с и х .

Вычитая (Ф) из (И) имеем: y-Y =

Т.к. на Х, то правая часть последнего равенства больше или равно 0, следовательно y³ Y для " x ÎC, что и доказывает, что график функции лежит не иниже касательной Т всюду на промежутке Х Аналогично рассматриваем случай ¦¢(x)¢£0. Q. e. D.

Точка М₀ (;) называется точкой перегиба графика функции у=¦(х), если в т. график имеет касательную Т и существует такая окрестность т . в которой слева и справа от т. график имеет разные направления выпуклости т.е. при переходе через т. М₀, график переходит с одной стороны касательной Т на другую.

М₀

М₀