Теорема 2.

Теорема 1.

(Необходимый признак монотонности) |возрастает [resp убывает] на промежутке X и дифференцируема в X | для т.е. если функция строго монотонная, то производная не меняет своего знака.

Рассмотрим возрастающую функци:

, если

, если

в обоих случаях откуда, переходя к пределу при , получим аналогично рассматривается случай убывания.

(Достаточный признак монотонности)

|дифференцируема в X и для |возрастает f(x) убывает] для

Пусть и

Применяя f(x), теорему Лагранжа на отрезке имеем:

, где но , поэтому , т.е. f(x) возрастает на X. Аналогично доказывается случай убывания.

При

если для то f(x) есть очевидно строго возрастающая функция на X, с другой стороны функция f(x) может строго возрастать на X и в то же время иметь в некоторых точках f’(x)=0.

Пример функция строго ­ и y’(0)=0

Пусть функция f(x) непрерывна в некотором промежутке, содержащем т., говорят, что в точке функция f(x) имеет максимум (resp минимум) если $ такая окрестность точки , что в каждой точке этой окрестности выполняется условие f(x)<f() (resp f(x)>f() т.е. значение f() является наибольшим (resp наименьшим) в окресности т.

Термины максимум и минимум.

Из определения экстремума функции следует, что экстремумы могут достигаться только во внутренних точках области определения.

Теорема:

Необходимое условие $

Если f’()=0 то точка называется стационарнойточкой f(x).

Станционарными точками функции соответствуют те точки графика функции, в которых касательная || оси Ox

Теорема 3

(Необходимое условие экстремума)

f(x) имеет в т. экстремума и дифференцируемых в т.Þ т.- стационарная точка функции f(x).

т.к. f(x) имеет в т.экстремум то $ интервал в котором число f() является наибольшим или наименьшим в этом интервале следовательно по теореме Ферма f’()=0

Условимся называть критической точкой функции f(x) всякую ее стационарную точку или точку, в которой функция непрерывна, но не имеет конечной производной (т.е. имеет бесконечную производную или вообще не имеет). Критическим точкам соответствуют те точки графика функции, в которых касательная горизонтальная, вертикальная или не существует.

Достаточное условие $ экстремума.

Пусть есть критическая точка функции f() и в некоторой окрестности этой точки (кроме быть может самой т.) функция f(x) имеет производную f’(x) тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4(1 достаточный признак экстремума)

Если в некоторой окрестности X критической точкой выполняется условие при и при (A) то в т. функция имеет max. Если же выполняется условие при и при (B) то в т. функция имеет min.

Пусть, например, в окрестности X т. выполняется условие (А), тогда в этой окрестности $ отр. x₁ x₀ x₂ в которых функция непрерывна, а внутри ее производная сохраняет соответственно положительный и отрицательный знаки, следовательно функция f(x) ­ на отрезке [x₁;x₀] и ¯ на [x₀;x₂] поэтому значение оказывается наибольшим на [x₁;x₂] т.е. в т. функция f(x) имеет max. Аналогично рассматривается min.

Примечание:

Если f’(x) при переходе через т. x₀ сохраняет постоянный знак, то в некоторой окрестности т. x₀ функция или возрастает или убывает и поэтому в т. x₀

Теорема 5( 2-ой достаточный признак экстремума) :

Если функция ¦¢ (x₀ ) = 0 , т.е. x₀ - стационарная точка функции ¦(x)и ¦¢¢(x₀)<0, то в точке x₀ функция ¦(x) имеет max; если же ¦¢¢(x₀)>0 , то в точке x₀ функция ¦(x) имеет min.

Запишем, для функции ¦(x) в окрестности точки x₀ локальную формулу Тейлора с n=2:

++

В силу того, что ¦¢ (x₀ ) = 0 по условию теоремы и точку х можно брать как угодно близко к точке х₀ из предыдущего равенства получили приближенное равенство:

Видим, что знак приращения функции в точке х₀ совпадает со знаком ее 2-ой производной в этой точке, что и завершает доказательство теоремы.

+ -