Определение

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке имеет вид:

(4)

где: А - постоянное число

- бесконечно малая при .

Теорема

Для того чтобы функция f(x) , была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x₀, тогда имеет место равенство (4). Считая , из (4) получим:

переходим к пределу при :

, т.е. в точке х₀ существует конечная производная.

Обратно

Пусть в точке х₀ функция имеет конечную производную . Обозначим её А, она равняется:

, - откуда

, где - БМ при .

Умножая обе части на последнее уравнение, приходим к уравнению (4), т.е. f(x) в точке х₀ дифференцируема. q.e.d.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке и существование в этой точке её конечной производной - понятия равносильные (для функции многих переменных это будет не так).

Непрерывность дифференцируемой функции

Предположим, что функция f(x) производную f’(x₀).

Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х₀

Док-во:

q.e.d.

Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно.

Достаточно рассмотреть .

Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к.

Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.

Основные правила дифференцирования

1. Производная константы равна 0:

Утверждение тривиально, т.к. в любой точке х приращение

2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. х, тогда функции также дифференцируемы в точке х:

(в случае частного, считаем ).q.e.d.

Док-во:

q.e.d.

Аналогично для левой верхней кривой

устанавливаются пределы

Вертикальные асимптоты.

Предположим, что в точке x=a по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x) бесконечен:

(А)

тогда точка M(x,f(x)) графика функции y=f(x) удаляется по этому графику в бесконечность, а её расстояние от прямой x=a стремится к нулю. Следовательно, согласно определению асимптоты, прямая x=a является асимптотой (вертикальной) кривой y=f(x).Очевидно, что обратно, если прямая x=a является асимптотой кривой y=f(x), то хотя бы одно из условий (А) выполняется.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производная.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x₀ и

x₀ +Dx лежат на этом промежутке

Определение 1:

Производной функции в точке x₀ называют предел (если он существует и конечен):

Если в точке x₀ выполняется условие:

то говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀бесконечную производную.

В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной.

Определение 2:

Говорят, что функция y=f(x )имеет в точке x₀ правую ( resp. левую) производную, если существует предел:

Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)

ЛЕКЦИЯ №

……………………………………………………………………………………………

где - б.м. при .

Это равенство справедливо при всех достаточно малых, поэтому выберем такое , которое соответствует приращению аргумента функции . Поделим обе части предыдущего равенства на и перейдем к пределу при . доказываем существование левой части уравнения. Доказательством этого будет существование предела конечного справа. Заметим, что в силу диф. функции в точке она будет непрерывна в этой точке. Следовательно . Рассмотрим предел в правой части последнего равенства:

Таким образом предел справа и конечен, предел слева, который по определению производной равен производной функции в точке

Окончательно: .

Примечание.

Теорема доказана для сложной функции имеющей лишь один промежуточный аргумент. Однако последних может быть много, но правило диференц. Будет прежним.

Пример:

Пусть: y=f(u), u=u(v), v=v(t), тогда y(t)=f’(u)·u’(v)·v’(t).

Правила дифференцирования обратной функции.

Теорема

Пусть функции y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы о обратной функции и имеет в точке производную , тогда обратная функция так же имеет производную в соответствующей точке и справедлива формула (6).

Дадим аргументу y обр. ф-ции в точке приращение тогда в силу строгой монотонности обр. ф-ции ее приращение в точке будет отлично от 0 и поэтому можно записать . Перейдем в этом равенстве к пределу при (при этом в силу непрерывности функции y=f(x) в т. ).

Следовательно предел слева также и по определению производной есть производная .

Окончательно: .

Геометрическая иллюстрация.

имеем:

Производные основных элементарных функций.

1. , где (7) эта формула будет доказана позже.

; (8)

(9)

формулы (8) и (9) доказываются с помощью определения производной, 1 замечательного предела и непрерывности функции cos(x) и sin(x) соответственно.

y=tg(x);

где

y=ctg(x)

Формулами (10) и (11) доказываются с использованием правила дифференцирования частного и формул (8) и (9).

4. где (12)

; перейдем к lim при пусть при (2-ой замечательный предел). Поэтому с учетом непрерывности логарифмической функции или , если a=e .

y=arcsin(x)

(13)

y=arccos(x)

(14)

т.к. на то корень арифметический по теореме о производной обратной функции (13). Формула (14) доказывается аналогично или с помощью

y=arctg(x)

(15)

y=arcctg(x) (16)

по теореме о производной обратной функции .

Формула (16) доказывается аналогично.

7. где

по теореме о производной обратной функции имеем таким образом ; (17).

В частности, если a=e, (18).

y=sh(x)

(19)

y=ch(x)

(20)

Доказательство формулы (20).

Имеем .

Формула (19) доказывается аналогично.

(21)

(22)

При доказательстве используется производная частного, а потом формулы (19) и (20).

Логарифмическое дифференцирование.

Определение.

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма.

тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: .

Рассмотрим степенную функцию

Имеем тем самым формула (7) доказана.

Применив прием логарифмического дифференцирования, мы можем вычислить производную показательно-степенной функции .

Имеем, функции u(x) v(x) дифференцируемыми в т. x, а функцию u(x)>0 в некоторой окрестности т.x:

(23).

Правило логарифмического дифференцирования рекомендуется применять на практике при дифференцировании произведения многих сомножителей.

Дифференцирование неявной функции.

Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 относительно y.

При некоторых условиях это уравнение определяет единственную функцию называемая неявной функцией, задаваемая исходной функцией. Тогда .

при дифференцировании применим теорему о производной сложной функции. В результате получиться линейное уравнение относительно y’ уравнение, решая которое находим y’.

………………………………………………………………………………………………..

Примечания.

1) Если производные и удовлетворяют всем условиям доказанной теоремы, то правило Лопиталя-Бернули может быть повторено.

2) Правило Лопиталя остается оправданным если .

ЛЕКЦИЯ №

3) Предел отношения функции может $ и без того, чтобы $ предел относительно их производных.

4) Правило Лопиталя-Бернули остается в силе, когда и при . Итак, правило Лопиталя-Бернули, когда оно применимо позволяет раскрыть неопределенности типов:и .

5) Сравнение при помощи правила Лопиталя-Бернули поведения при функции: показательно , степенной и логарифмической показывают, что показательная функция имеет более высокий порядок роста, чем степенная – более высокий порядок роста чем логарифмическая. .

Другие типы неопределенностей.

1) или же и применяется правило Лопеталя-Бернули.

, если при , - ББ при , если же при , то имеем неопределенность типа .

Неопределенности типов раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и вычисления предела логарифма функции что приводит к неопределенности типа .

Примеры.

2) .

Рассмотрим: |это отношение не имеет предела при | Þ правило Лопиталя-Бернули не применимо. Найдем предел А непосредственно. 0

Теорема Тейлора.

Пусть функция имеет в некоторой окрестности конечной точки a производные до порядка включительно, x – любое значение аргумента из указанной окрестности тогда между точками a и x найдется точка x такая, что

(5)

многочлен Тейлора функции

Формула (5) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:; , формула Тейлора с центром в точке a. Формулу Тейлора часто записывают в другом виде.

Положим .

, отсюда при n=0 получается формула Лагранжа .

Таким образом формула Тейлора обобщает формулу Лагранжа. Покажем, что если функция ограничена в окрестности точки a, то остаточный член формулы Тейлора есть БМ более высокого малости, чем при

т.о. ; (при ) (6).

Остаточный член (6) называется остаточным членом в форме Пеано, а формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано называется локальной формулы Тейлора. Формула Тейлора при a=0 (с центром в 0) называется формулой Маклорена.

. (7)

Где остаточный член имеет: в форме Лагранжа

в форме Пеано .

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

т.к. , для , то формула Маклорена имеет вид . (8)

На любом отрезке , где в силу того, что: , т.е. , получаем следующую оценку следующего члена (9)

Полагая здесь x=r=1 имеем оценку погрешности приближенного вычисления числа e (9’)

II.

т.к. ,

то формула Маклорена имеет вид ; (10).

Здесь n – нечетное число x – в радианах. Очевидно, что на любом отрезке справедлива следующая оценка остаточного члена:

(11)

III.

Т.к. ; , то формула Макло-рена имеет вид: ;

(12).

Здесь n – четное число на любом отрезке имеет очевидно для остаточного члена оценку (11).

IV.

Т.к.

, то формула Маклорена имеет вид:

(13)

где остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа. (14)

для значений имеем оценку, переходя в (14) к модулям:

; (15)

Для значений можно доказать, что имеет место оценка:

(16).

ЛЕКЦИЯ №

V. , где

Т.к

, то формула Маклорена имеет вид:

; (17)

В частности когда (натуральное число), то получаем формулу бинома Ньютона: .

Примеры:

1) Вычислить приближенно с помощью дифференциала и оценить погрешность этого приближения.

Запишем теперь формулу Тейлора с n=1

(положим здесь a=60°, x=61°, тогда ) имеем:

предыдущее вычисление проведено с точностью до одной тысячной, таким образом с точностью 0,001.

2) при каких x справедливо с точностью до 0б0001 приближенная формула .

Погрешность этой приближенной формулы согласно (12) , откуда: таким образом приближенная формула при заданной точности вычислений, справедлива для таких x, что

3) Вычислить с точностью 0,001

здесь

Оценивая остаточный член в формуле (17) , находим, что достаточно взять n=2; тогда: и |проделывая это и округляя до 3-го знака| » 2,926 (с точностью до 0,001).