Предел функции в точке

Площадь поверхности вращения

Объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 7.7), где - дуга кривой , , вычисляется по формуле

или . (7.5)

Объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 7.8), где - дуга кривой , , вычисляется по формуле

или .

Длина дуги кривой , , вычисляется по формуле

или .

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: , , , вычисляется по формуле

или .

Если кривая задана уравнением в полярных координатах , , то

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой , , вычисляется по формуле

, (7.6)

где - дифференциал длины дуги.

В случае другого способа задания кривой площадь поверхности определяется по формуле (7.6) путём соответствующей замены переменных.

Определение 1. (по Гейне)

Постоянное число А называется пределом функции f(x) в точке (или при ) если для последовательности такой, что и соответствующая последовательность значений функций сходится А.

Пишем:

Определение 2. (по Коши)

Постоянное число А называется пределом функции в точке (или при ) если для произвольного числа найдется число такое, что из условия (1) вытекает неравенство .

Определение 2. (в кванторах)

Комментарий к определению по Коши.

Означает, что значение функции будут как угодно мало отличаться от постоянного числа А, если только соответствующее значение аргумента близки к .

Доказывается что определения 1 и 2 эквивалентны.

Геометрическая интерпретация определения по Коши. Т.к. неравенство (1) равносильно: то какова бы ни была полоса, ограниченная прямыми и , найдется интервал , такой что все точки графика с абсциссами из этого интервала (кроме быть может точки с абсциссами ) окажутся внутри данной полосы.

Подчеркнем, что определение Коши не требует, что бы функция была определена в точке , поэтому в определении речь идет о проколотой - окрестности точки - (окрестность точки радиуса ).

. (- показывает что ).

Примеры:

I. ,

рассмотрим две последовательности ясно, что первая последовательность стремится к 0 при и вторая так же стремиться к 0 при .

Но: ;

Очевидно, , .

Видим, что соответствующие последовательности значений функций имеют разные пределы . Таким образом определение Гейне не удовлетворяет. Следовательно функция в точке предела не имеет.

II.

При имеем:

Выбираем произвольно и положим , тогда влечет или в символах: , т.е. .

Видим, что предел функции в точке x=3 существует, а значение функции в этой точке тут совершенно ни при чем. Мы могли бы придать функции значение или не придавать никакое.

Непрерывность функции в точке.

Определение 2.

Функция называется непрерывной в точке если: (2).

Это определение предъявляет функции следующие требования:

1) функция должна быть определена в точке и некоторой ее окрестности.

2) Функция должна иметь в точке предел.

3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке .

Определение 2 означает, что для непрерывности в точке функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента.

Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функции в определении 2 не выполняется, то говорят, что функция разрывна в т.или имеет в т. разрыв; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестности кроме быть может т..

Тогда т. - называется точкой разрыва функции .

Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой .

Например такую кривую можно провести отрывая карандаша от бумаги.

y M

M₀

M’

0 x x

На рисунке:

тогда , т.е.

Возвращаясь к функции , можем сказать, что в точке нарушается сразу 2 условия непрерывности (неопределенность в т. и не имеет предела в этой точке). Поэтому данная функция разрывна в т. .

Возвращаясь к пример 2 видим, что для данной функции нарушается 3 условие непрерывности, поэтому функция разрывна.

Если бы мы придали функции в точке значение 2, то измененная таким образом функция оказалась бы непрерывной в т. .