Теорема 3.

Если (resp A<B) то $ окрестность в которой выполняется неравенство >B (resp <B)

Пусть A>B положим тогда

При выбранном левая из этих неравенств имеет вид >B resp доказывается 2 часть теоремы только в этом случае берем

Следствие (сохранение функции знаки своего предела).

Полагая в теореме 3 B=0, получаем: если (resp ), то $ , во всех точках, которой будет >0 (resp <0), т.е. функция сохраняет знак своего предела.

Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки (кроме быть может самой этой точки) выполняется условие и данные функции имеют в точке пределы, то .

На языке и .

Введем функцию . Ясно, что в окрестности т. . Тогда по теореме о сохранении функции значении своего предела имеем , но

Следствие.

Из теоремы вытекает, что если в некоторой окрестности (кроме возможно самой этой точки) выполняется условие (resp ), то (resp , в предположении что предел $).

(Это утверждение иногда называют теоремой о пределе знако-постоянной функции)

Теорема 5.(о пределе промежуточной функции).

(1) Если и в некоторой окрестности т. (кроме быть может самой т. ) выполняется условие (2) , то функция имеет в т. предел и этот предел равен А.

по условию (1) $ для (здесь - наименьшая окрестность точки ).

Но тогда в силу условия (2) для значения так же будет находится в - окрестности точки А, т.е. .

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции в точке.

Определение 1 (по Гейне)

Число А называется правым (правосторонним) (resp левым) пределом функции в т. (или при ) если для любой последовательности значение аргумента такой, что , (resp ) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Определение 1 (по Коши)

Число А называется правым (resp левым) пределом функции в т. (или при ) если для: (resp ) Þ Þ

Доказывается, что эти определения равносильны.

Односторонние (resp правый и левый пределы функции в т. ) обозначаются resp