Непосредственное интегрирование

Глава 3. Интегральное исчисление функций одной переменной

Исследование функций и построение их графиков

Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции, точки её разрыва.

2. Исследовать изменение функции при , стремящемся к концам промежутков области определения и точкам разрыва.

3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.

4. Вычислить значения экстремумов, построить соответствующие точки.

5. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, найти точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика функции с координатными осями.

7. Найти асимптоты графика функции.

6. Неопределённый интеграл

Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная которой равна данной функции, т.е.

.

Неопределённым интегралом от непрерывной функции или от дифференциального выражения называется совокупность всех первообразных функций :

,

где . Функция называется подынтегральной функцией, а - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла:

1. производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

, ;

2. неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

, ;

3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

, ;

4. неопределённый интеграл от алгебраической суммы непрерывных функций равен соответствующей алгебраической сумме неопределённых интегралов от слагаемых:

.

Таблица основных неопределённых интегралов:

, , (6.1)

,

, (6.2)

,

,

,

,

,

,

,

,

. (6.3)

Метод непосредственного интегрирования основан на свойстве 4 неопределённого интеграла.