Направления вогнутости кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой

График функции называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке , если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной, проведённой в любой точке этой дуги (рис. 5.5).

График функции называется вогнутым вниз (или выпуклым вверх) в промежутке , если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной, проведённой в любой точке этой дуги (рис. 5.6).

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) кривой: если вторая производная функции положительна в промежутке , то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке; если вторая производная функции отрицательна в промежутке , то график этой функции вогнут вниз в данном промежутке.

Точкой перегиба непрерывной кривой называется такая её точка (рис. 5.7), при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот (относительно одного и того же направления, например, вниз).

Достаточное условие точки перегиба: если вторая производная функции в точке равна нулю и меняет знак при переходе через эту точку, то - точка перегиба графика этой функции.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат (рис 5.8). различают асимптоты вертикальные и невертикальные.

Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке является бесконечным, т.е.

или , (5.5)

то прямая называется вертикальной асимптотой графика этой функции.

Если в правой части уравнения можно выделить линейную часть

, (5.6)

где при , то прямая называется невертикальной асимптотой графика функции .

Если существуют пределы:

, , (5.7)

то уравнение определяет невертикальную асимптоту графика функции .

Если существуют пределы:

, , (5.8)

то уравнение определяет другую невертикальную асимптоту графика функции .

Если линия задана параметрическими уравнениями , , то сначала выясняют, имеются ли значения параметров, при которых одна из функций обращается в бесконечность, а другая остаётся конечной. При , кривая имеет асимптоту ; при , - вертикальную асимптоту .

Если , причём

, , (5.9)

то линия имеет асимптоту, уравнение которой .