Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

Функция называется возрастающей (рис.5.3, а) в некотором промежутке, если для любых точек и , принадлежащих данному промежутку, из неравенства следует неравенство .

Функция называется убывающей (рис.5.3, б) в некотором промежутке, если для любых точек и , принадлежащих данному промежутку, из неравенства следует неравенство .

Достаточное условие возрастания (убывания) функции: если в некотором промежутке производная данной функции положительна, то функция возрастает в этом промежутке, если отрицательна, то функция убывает в этом промежутке.

Максимумом функции называется такое её значение , которое больше всех других её значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от неё (рис. 5.4, а), т.е. .

Минимумом функции называется такое её значение , которое меньше всех других её значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точке и отличных от неё (рис. 5.4, б), т.е. .

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции. Значения аргумента функции, при которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Достаточное условие экстремума (первое правило):если в точке производная функции обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, - экстремум функции, причём: 1) функция имеет максимум в точке , если знак производной меняется с плюса на минус (т.е. при , при , ); 2) функция имеет минимум в точке , если знак производной меняется с минуса на плюс (т.е. при , при , ).

Достаточное условие экстремума (второе правило):если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то - точка экстремума, причём: 1) - точка максимума, если ; 2) - точка минимума, если .

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке , необходимо вычислить значения её максимумов на этом отрезке, значения функции на его концах, т.е , , и из полученных чисел выбрать самое большое.

Аналогично находится наименьшее значение функции.