Касательная и нормаль к плоской кривой. Кривизна кривой

Приложения производной

Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется произведение её производной на приращение независимой переменной:

или , (4.15)

так как . Из второй формулы следует, что .

При достаточно малых справедлива приближённая формула

или

. (4.16)

С помощью производной можно находить многие пределы (раскрывать соответствующие неопределённости), исследовать функции и строить их графики, решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций. Производная применяется также при численном решении уравнений.

5.1. Правило Лопиталя – Бернулли

Если и - дифференцируемые бесконечно малые или бесконечно большие функции при , то

. (5.1)

Формулой (5.1) и выражается правило Лопиталя – Бернулли: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует или равен бесконечности.

Правило это применимо и в случае, когда .

Касательной к кривой в точке называется прямая - предельное положение секущей , при условии, что точка стремится к вдоль данной кривой (рис. 5.1).

Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной в точке (рис. 5.1).

Уравнение касательной к кривой в точке :

. (5.2)

Уравнение нормали к кривой в точке :

. (5.3)

Углом между кривыми в их общейточке называется угол касательными к этим кривым в точке .

Кривизной кривой в её точке называется предел модуля отношения угла между касательными в точках и к длине дуги при (рис. 5.2), т.е.

,

где угол выражен в радианах.

Кривизна кривой вычисляется по формуле

. (5.4)