Производная и дифференциал

Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Гиперболические функции

Точки разрыва функции

Рассмотрим функцию , определённую на интервале , кроме, может быть, точки . Точка называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке.

Если - точка разрыва функции и существуют конечные пределы , , , то она называется точкой разрыва первого рода.

Величина называется скачком функции в точке .

Если - точка разрыва функции и , то она называется точкой устранимого разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным, то называется точкой разрыва второго рода.

Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс определяются соответственно формулами:

, (3.2)

, (3.3)

, .

Основные формулы для гиперболических функций:

, , .

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Функция, имеющая конечную производную,

называется дифференцируемой.

Операция нахождения производной называется

дифференцированием.

Геометрический смысл производной:

угловому коэффициенту касательной к графику

данной функции в точке , т.е. , где - угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы координат (рис. 4.1).

Механический смысл производной: для функции , меняющейся со временем t, производная при есть скорость изменения функции в данный момент времени , т.е. , где - скорость в момент времени .