Для составления экономико-математической модели оптимального рациона кормления скота необходимы следующие данные:
- вид или половозрастная группа скота, для которого рассчитывается рацион; период (сутки, месяц, год); живой вес одной головы; планируемая продуктивность;
- требуемое содержание питательных веществ в рационе, или потребность животного в зависимости от его продуктивности, живого веса, физиологического состояния (эти нормативные данные берут из справочников);
- предельные нормы скармливания отдельных видов и групп кормов данному виду скота или допустимые зоотехнические нормы потребления кормов (эти данные также берут из справочной литературы);
- виды кормов и кормовых добавок, из которых могут быть составлены кормовые рационы;
- содержание питательных веществ в единице корма или кормовой добавки по всем учитываемым в задаче видам питательных веществ (эти данные берут на основе анализа кормов, проведенного в агрохимлаборатории, или из справочных таблиц по питательности кормов);
- стоимость (себестоимость) весовой единицы корма и добавок.
Рассмотрим составление числовой экономико-математической модели на примере оптимизации суточного кормового рациона на стойловый период для дойной коровы живой массой 450 кг, продуктивностью 10-12 кг молока в сутки.
Набор имеющихся в хозяйстве кормов (из них жмых и карбамид хозяйство может приобрести на стороне), питательность кормов и их стоимость представлены в табл. 7.1. Основные переменные модели означают количество каждого вида корма, которое может быть введено в рацион. Так как составляется суточный рацион, то за единицу измерения удобно принять 1 кг. Обозначения переменных так же представлены в табл. 7.1.
Согласно нормам кормления в рационе коров указанной продуктивности и живого веса должно содержаться не менее 10.6 кг кормовых единиц, 1.14 кг переваримого протеина, 75г кальция, 50г фосфора, 450 мг каротина и не более 18 кг сухого вещества. При этом необходимо отметить, что отклонение нормы содержания основного вида питательного вещества допустимо в пределах 3-5% (кормовые единицы – 3%, переваримый протеин- 5%). В соответствии с зоотехническими требованиями отдельные группы кормов могут содержаться в рационе в следующем количестве ( в процентах от общего количества кормовых единиц в рационе):
концентрированные - от 20 до 32
грубые - от 25 до 36
силосные - от 25 до 38
корнеклубнеплоды - от 3 до 14
Итого от 73 до 120
При формировании структуры рациона следует учитывать, что сумма процентов по минимальной границе содержания отдельных видов кормов в рационе должна быть менее 100%, а по максимальной границе – более 100% порядка ± 20-30%.
Отдельные виды кормов могут содержаться в рационе в следующем количестве: картофеля – не более 10% веса корнеклубнеплодов; жмыха – не более 20% веса концентрированных кормов; соломы – не более 50% общего количества грубых кормов.
Карбамидом можно заменить не более 25% переваримого протеина, необходимого в рационе.
Для формирования основных ограничений по содержанию кормовых единиц и переваримого протеина в рационе необходимо ввести дополнительные переменные Х15 и Х16, обозначающие избыток соответствующего вида питательного элемента.
Для формирования ограничений по определению общего количества кормовых единиц и переваримого протеина вводятся вспомогательные переменные Х13 и Х14, обозначающие общее количество соответствующего вида питательного вещества.
Чтобы не записывать дважды питательную ценность кормов в ограничения по содержанию в рационе кормовых единиц и переваримого протеина и во вспомогательные ограничения по определению общего количества этих элементов, начнем составление модели со вспомогательных ограничений.
Вспомогательные ограничения
Эти ограничения записывают на основании нормативных данных по питательной ценности кормов и кормовых добавок (табл. 4.1).
Первое – по определению общего количества кормовых единиц в рационе- первоначально будет иметь вид:
1,2Х1 + 0,7Х2 + … + 0,13Х10 + 0,3Х11 = Х13
или окончательно:
1,2Х1 + 0,7Х2 + … + 0,13Х10 + 0,3Х11 - Х13 = 0
Второе – по общему количеству переваримого протеина – формируется аналогично.
Ограничения по питательности рациона
Эти ограничения формируют на основании требований по содержанию в рационе основных элементов питательности, приведенных в условии задачи. Введение в них дополнительных переменных (Х15, Х16) вызвано тем, что в оптимальном рационе избыток основных видов питательных элементов не должен превышать 5% от нормы. Поэтому эти дополнительные переменные в соответствующих ограничениях необходимо будет ограничить (см. ниже).
Ограничение по содержанию в рационе не менее 10.6 кг к.ед. запишется следующим образом:
Х13 – Х15 = 10,6
Аналогичный вид будет иметь ограничение по содержанию переваримого протеина.
Х14 – Х16 = 1,14
Запись ограничений, не включающих дополнительные переменные, обозначающие избыток данного вида питательного элемента, рассмотрим на примере содержания в рационе кальция:
1,2Х1 + 1,2Х2 + … + 0,4Х10 + 0,2Х11 ³ 75
Ограничение по содержанию сухих веществ будет противоположного смысла, так как в рационе их должно быть не более 18 кг:
0,87Х1 0,87Х2 + … + 0,12Х10 + 0,23Х11 £ 18
Ограничения по содержанию отдельных групп кормов в рационе
Данные ограничения формируются исходя из процентного соотношения отдельных групп кормов в кормовом рационе. Запись этих ограничений осуществляется с помощью основных переменных, обозначающих соответствующий вид корма, и вспомогательной переменной – общее количество кормовых единиц. В качестве коэффициентов при основных переменных в этих ограничениях будут выступать нормы содержания кормовых единиц в 1 кг соответствующего корма. В качестве коэффициента при вспомогательной переменной – содержание отдельной группы корма в процентах от общего количества кормовых единиц.
Приведем запись ограничений по минимальному и максимальному содержанию в рационе концентрированных кормов:
1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 ³ 0,20Х13
1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 £ 0,32Х13
Произведем алгебраические преобразования с ограничениями. Перенесем члены с неизвестными в левую часть. Так как решение задачи будет осуществляться симплексным методом, то в матрице задачи выгодно иметь больше ограничений типа £ (особенно для задач с большой размерностью матрицы), по причине того, что введение искусственных переменных приводит к увеличению затрат времени на решение задач. Поэтому умножим обе части ограничения на (-1). Это можно сделать всегда в ограничениях, имеющих свободные члены равные 0 и знак ³ .
Окончательно эти ограничения будут иметь вид:
-1,2Х1 - 0,7Х2 - 0,09Х3 + 0,20Х13 £ 0
1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 - 0,32Х13 £ 0
Аналогично формируются и остальные ограничения этого типа (11-16). Дополнительные ограничения
1. Ограничения по соотношению отдельных видов кормов в группе
Ограничения по включению жмыха в размере не более 20% от веса концентрированных кормов первоначально будет иметь вид:
Х3 £ 0,2 (Х1 +Х2 + Х3)
Произведем алгебраические преобразования:
Х3 - 0,2 Х1 –0,2Х2 –0,2 Х3 £ 0
- 0,2 Х1 –0,2Х2 +0,8 Х3 £ 0
- Х1 –Х2 +4 Х3 £ 0
В таком виде это ограничение записывается в матрицу. Аналогично формируются ограничения 18 и 19.
Для записи ограничения по карбамиду используется вспомогательная переменная Х14.
2,6Х12 £ 0,25 Х14
или окончательно:
2,6Х12 - 0,25 Х14£ 0
2. Ограничения по превышению кормовых единиц и переваримого протеина
Х15 £ 0,32
Х16£ 0,057
При формировании целевой функции в качестве коэффициентов при переменных будет выступать стоимость (себестоимость) единицы соответствующего корма или кормовой добавки. Таким образом, целевая функция, выражающая минимум стоимости рациона, запишется следующим образом:
Z = 3,5Х1 + 2,0Х2 + … + 5,0Х11 + 6,6Х12 ® MIN
При решении данной задачи на персональном компьютере по программе «Линейная оптимизация» необходимо сделать некоторые преобразования в целевой функции, так как данный программный комплекс предусматривает решение только на максимум целевой функции. На основании того, что ZMAC = - ZMIN знаки в целевой функции поменяем на противоположные:
Z = - 3,5Х1 - 2,0Х2 - … - 5,0Х11 - 6,6Х12 ® MAC
В матричной форме составленная числовая модель представлена в таблице 7.2.
