Графическая интерпретация операций импликации и инференции для непрерывных универсумов

Композиционное правило инференции является обобщением следующего известного понятия. Предположим, что мы имеем функцию y =f(x), которая определяет отношения между интервальными переменными, как показано на рисунке ниже. Чтобы найти результирующий интервал y=b, соответствующий интервалу x=a, мы вначале создаем цилиндрическое расширение a (т.е. расширяем область a из линии X на плоскость XY) и затем находим его пересечение I с графиком интервальной зависимости. Проекция I на ось y определяет искомый интервал y=b.

Обобщим эту графическую интерпретацию на операции импликации и инференции.

Пусть бинарное нечеткое отношение определено в декартовом пространстве XY непрерывных универсумов X и Y как пересечение множеств A и B . Тогда функция принадлежности нечеткого отношения R может быть представлена как поверхность в трехмерном пространстве. В качестве примера на рис. 1.5,а показана такая поверхность для треугольной функции принадлежности для A и трапециидальной функции принадлежности для B.

Рис. 1.5,а

Остановимся на том, каким образом получено графическое представление нечеткого отношения между множествами A и B, для которых известны их функции принадлежности и .

Прежде всего, заметим, что двумя важными операциями на нечетких множествах и нечетких отношениях являются проекция и цилиндрическое расширение. Операция проекция преобразует тернарное отношение(отношение трех нечетких множеств) в бинарное, или бинарное отношение в нечеткое множество, или нечеткое множество в четкое единственное значение.

В бинарном случае проекция R на Y (полагаем, что R определено на XY) определяется как

.

В результате этой операции над нечетким отношением, представленным функцией принадлежности, изображенной на рис. 1.5,а, получаем проекцию (тень) Rна Y в виде множества B (рис. 1.5,б).

Рис. 1.5,б

Аналогичным образом определяется проекция (тень) R на X в виде выражения

и в виде множества A (рис. 1.5,в).

Рис. 1.5,в

Вместо оператора супремум (supremum, верхняя грань), который необходим, когда универсумы X и Y являются непрерывными, для дискретных универсумов используют оператор max.