Нечеткий логический вывод (также называемый как нечеткое или приближенное рассуждение) – это наиболее важный метод в нечеткой логике. Чтобы сделать заключение (вывод) из базовых правил, нам нужен механизм, который позволяет находить заключение из набора правил если-то. Такой механизм можно получить, используя композиционное правило нечеткого логического вывода (КПЛВ), другими словами, композиционное правило инференции, которое является существенным логическим обоснованием приближенных рассуждений. Инференция означает: сделать вывод из очевидного, сделать заключение или получить логическое следствие. Не путайте инференцию с интерференцией.
Чтобы понять лежащую в основе инференции концепцию, полезно рассмотреть вычисление значения четкой функции y=f(x), (рис. 1.5), где f есть данная функция (определяет отношение между x и y), x есть независимая переменная (четкий аргумент), y – четкий результат. Если мы имеем x=a, то из y=f(x) делаем вывод, что значение y=b= f(a).
Знаменитое правило инференции modus ponens (модус поненс) четкой логики (композиционное правило инференции)
, (1.14)
записываемое также как
=R, (1.14a)
может быть сформулировано следующим образом: если известно, что утверждение (высказывание) верно (истина), и также, что А верно (истина), то можно сделать вывод, что B есть истина. Например, если А отождествляется с «помидор красный» и B с «помидор зрелый», то, если «помидор красный» есть истина, то также является истиной, что «помидор зрелый». Эта концепция иллюстрируется ниже
Предпосылка 1 (факт или наблюдение): x есть A,
Предпосылка 2 (правило) если x есть A , то y есть B ,
……………………………………………………………………………………
Следствие (заключение): y есть B.
Однако в большинстве человеческих рассуждений модус поненс используется приближенным образом. Например, если мы имеем то же самое правило импликации «если помидор красный, то помидор зрелый», и мы видим, что «помидор более или менее красный», то мы делаем вывод, что «помидор более или менее зрелый». Эту последовательность действий можно записать как
Предпосылка 1 (факт или наблюдение): x есть A’,
Предпосылка 2 (правило) если x есть A ,то y есть B ,
……………………………………………………………………………………
Следствие (заключение): y есть B’.
Здесь A’близко к A и B’ близко к B. Когда A, B, A’ и B’ являются нечеткими множествами соответствующих универсумов, то описанная выше процедура инференции называется нечетким рассуждением или приближенным рассуждением; также ее называют обобщенным правилом modus ponens (ОМП), т.к. в частном случае оно преобразуется в модус поненс.
Используя композиционное правило инференции, сформулированное ранее, мы можем сформулировать процедуру нечеткой инференции как следующее определение.
Определение: Нечеткий логический вывод.
Пусть A, A’ и Bпредставляют собой нечеткие множества на универсумах U, U и Vсоответственно. Предположим, что нечеткая импликациявыражена как нечеткое отношение R на . Тогда нечеткое множество B’ , логически выводимое из «x есть A’ » и нечеткого правила «если x есть A ,то y есть B» определяется как
==R. (1.15)
Часто для непрерывных универсумов используют вместо обозначения оператора композиции( внутреннего произведения) другое обозначение :
==R.
При этом в нечеткой логике и слегка отличаются в некотором смысле от и соответственно, например, после применения модификаторов.
ОМП тесно связано с ранее рассмотренным прямым построением цепочки (см. п.1.3), т.е. рассуждениями от исходных посылок к целевой гипотезе в базовых правилах, которые содержат цепочки правил. Такая связь особенно полезна в нечетких контроллерах. ОМП имеет в своей основе композиционное правило инференции. При этом связь лингвистических переменных и , т.е. выражение (1.14а), называют лингвистической (словесной) моделью, представленной с помощью отношения R (рис. 1.5,а).
Применительно к базовым правилам правило модус поненс выглядит так:
Пример. Уровень жидкости в баке
Классическая логика
Предпосылка 1(факт): уровень есть НИЗКИЙ
Предпосылка 2: если уровень (x) есть НИЗКИЙ (A), то входной сигнал V1 (y) вентиля есть ОТКРЫТЬ (B)
………………………………………………………………………………………
Следствие: входной сигнал V1 вентиля есть ОТКРЫТЬ
Предпосылка 1(факт): уровень есть НЕ ОЧЕНЬ НИЗКИЙ ()
Предпосылка 2: если уровень есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V1 вентиля есть ОТКРЫТЬ
Следствие: входной сигнал V1 вентиля есть НЕМНОГО ОТКРЫТЬ ()
Таким образом, процесс получения нечеткого логического вывода с использованием данных наблюдения (измерения) и знания Rсводится ккомпозиции и R, т.е.
.
Пример 1.14 (ОМП). Рассмотрим нечеткое отношение
R=низкийmin открыть
из предыдущего примера, и вход контроллера (фактическое измерение уровня), представляющий собой нечеткое множество НЕ ОЧЕНЬ НИЗКИЙ уровень с дискретной функцией принадлежности
= не очень низкий = [0,75 1 0,75 0,5 0,25]
тогда, чтобы получить нечеткий логический вывод, найдем композициюнечеткого множестваи отношенияR (внутреннее произведение):
= v1 =не очень низкийR (1.16)
Очевидно, что фактический вход «НЕ ОЧЕНЬ НИЗКИЙ уровень», представляет уровень несколько более высокий, чем «НИЗКИЙ». В результате после инференции получаем выход как нечеткое множество V1 «НЕМНОГО ОТКРЫТЬ ВЕНТИЛЬ» чуть меньший, чем «ОТКРЫТЬ».
В нечеткой лингвистической модели (в нечетком правиле для примера 1.13) вход – лингвистическая переменная уровень, выход – лингвистическая переменная входной сигнал вентиля.
Между прочим, если мы попытаемся приравнять в (1.16) функции принадлежности предполагаемого входа низкий и фактического входа не очень низкий, то следует ожидать получить после композиции сRфункцию принадлежности выхода как вектор v1, равный вектору открыть. Да, это действительно так. Однако доказательство оставим как упражнение для студентов.
Можно показать, что композиция множества и отношения R
(1.19)
Здесь a, b, ,соответственно функции принадлежности множеств A, B, , ,
. (1.20)
Для примеров 13 и 14 с помощью (1.19) и (1.20) получаем
(рис. 1.5), где f есть данная функция (определяет отношение между x и y), x есть независимая переменная (четкий аргумент), y – четкий результат. Если мы имеем x=a, то из y=f(x) делаем вывод, что значение y=b= f(a).
Y (знание)
, (1.14)
=
R, (1.14a)
верно (истина), и также, что А верно (истина), то можно сделать вывод, что B есть истина. Например, если А отождествляется с «помидор красный» и B с «помидор зрелый», то, если «помидор красный» есть истина, то также является истиной, что «помидор зрелый». Эта концепция иллюстрируется ниже
. Тогда нечеткое множество B’ , логически выводимое из «x есть A’ » и нечеткого правила «если x есть A ,то y есть B» определяется как
=
=
:
соответственно, например, после применения модификаторов.
.
min открыть
= не очень низкий = [0,75 1 0,75 0,5 0,25]
= v1 =не очень низкий 
(1.19)
,
. (1.20)
= max{[0,75 1 0,75 0,5 0,25] min[1 0,75 0,5 0,25 0]}
1; 1 
=0.75 
b =[0,75