Импликация

Оператор импликация на протяжении длительного времени не дает покоя теоретикам нечеткой логики. Если мы его определим классическим (традиционным) путем, т.е. как , то мы получим таблицу истинности, которая противоречит интуиции и непригодна, т.к. некоторые законы логики ею не поддерживаются, теряют силу. Под таблицей истинности понимают таблицу, определяющую истинность результата рассматриваемой операции для каждого из значений истинности исходного или исходных высказываний. Кстати, к законам логики относятся, например, закон противоречия, закон двойного отрицания, закон доказательства от противного и другие.

Многие ученые пытались дать иные определения импликации. В литературе, например, приводится список из 72 ее альтернативных определений. Одним из таких определений является так называемая импликация Гёделя, которая лучше в смысле того, что многие из «прежних, достаточно старых» (читай двухзначных) логических отношений при ее использовании имеют силу. Тремя другими примерами являются: (упрощение или симплификация), (правило отделения или modus ponens (модус поненс)) и (гипотетический силлогизм). Импликация Гёделя может быть записана так

, (1.9)

где

.

Правило Если уровень в баке есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля есть ОТКРЫТЬ является импликацией, т.к. переменная уровень влечет за собой значение V₁ на выходе регулятора. Однако импликация Гёделя,

редко используется в нечетких регуляторах (контроллерах). Значительно чаще применяется импликация, называемая импликацией Мамдани.

Определение (импликация Мамдани). Пусть A и B два нечетких множества, не обязательно заданные на одном и том же универсуме, определяемые своими дискретными функциями принадлежности a и b соответственно. Импликация Мамдани определяется как

, (1.12)

где есть внешнее произведение, применяющее операцию min к каждому элементу декартова произведения a и b.

В отличие от классической импликации, которая говорит о том, что «A влечет за собой B», но ничего нельзя сказать о B, когда A не имеет место ( A и B нельзя менять местами), импликация Мамдани трактует правило Если A, то B как «Истина, что A и B одновременно имеют место». Последняя импликация симметрична и может быть инвертируема и записывается в ряде случаев как конъюнкция A и B, т.е. как AB .

Пусть aпредставляет собой вектор-столбец и b вектор-строку, тогда их

внешнееmin- произведение может быть найдено в виде «таблицы умножения».

(1.13)
Здесь a_i = и b _j =соответственно элементы дискретных функций принадлежности a и b множеств A и B.

Таким образом, импликация Мамдани представляет собой нечеткое отношение множеств A и B и определяется по формуле

R =AB a min b.

Матрицу Rможно записать в виде R=[r _ij], где r _ij a_i b _j – (i,j)-й элемент матрицы R.

Для непрерывных универсумов нечеткое отношение имеет следующий вид

.

Как видим, каждое правило можно трактовать как импликацию, другими словами, как нечеткое отношение.

Пример 1.13 (внешнее произведение). Рассмотрим импликацию (правило) «Если уровень есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля ОТКРЫТЬ»с переменными (нечеткими множествами) НИЗКИЙ(A) и ОТКРЫТЬ(B), определяемыми c помощью дискретных функций принадлежности как

a= низкий = [ 1 0,75 0,5 0,25 0]

b=открыть = [0 0,5 1].

Тогда импликация,рассматриваемая как нечеткое отношение множествНИЗКИЙи ОТКРЫТЬ, т.е. какR=низкий min открыть,в соответствии с (1.13)

вычисляется по следующей схеме

(1.13а)

Это есть весьма важный путь построения таблицы импликации исходя из правил.

Здесь a= ,

b=.

Внешнее min - произведение Мамдани так же, как и внешнее произведение с операцией , заменяемой операцией * для произведения, есть основа для построения большинства нечетких контроллеров; поэтому в последующем мы будем часто его использовать. Однако следует отметить, что Задэ и другие ученые предложили несколько других теоретических определений импликации.

Заметим, что импликациярассматривается как база знаний или просто как знание.