Нечеткие множества представляют собой развитие математического понятия множества. Впервые множества начал исследовать немецкий математик Георг Кантор (1845-1918). Созданная им теория множеств встречала возражения в течение всей его жизни. Однако в настоящее время большинство математиков поверило в возможность представления многих, если не всех разделов математики на языке теории множеств. Многие ученые обратили внимание на важность «фаззификации» (нечеткости) в теории множеств и большое количество литературы, посвященное этой проблематике, является доказательством такого внимания.
Для специалистов в области управления нечеткая логика и нечеткие отношения являются самыми важными понятиями для того, чтобы разобраться в механизме действия нечетких правил.
Традиционные (общепринятые, четкие) множества.Множество есть любая совокупность элементов (предметов) произвольной природы, которые можно трактовать как единое целое. Кантор описывал множество посредством его членов так, что отдельные предметы из данного универсума (окружающего мира) являются его (множества) членами или нет. Понятия множества, совокупности, класса, так же как понятия предмет, элемент, член являются синонимами. Вообще любое нечто, названное в обыденном разговоре множеством является множеством и в математическом смысле (сравните следующие примеры).
Пример 1.1 (множества).Следующие списки или совокупности предметов хорошо определены, что дает право назвать их множествами:
а) множество неотрицательных чисел меньших чем 4. Это конечное множество с четырьмя элементами 0, 1, 2 и 3;
б) множество живых динозавров в подвалах Палеонтологического музея в г. Москве. Это множество не содержит ни одного элемента и поэтому называется пустым множеством;
в) множество числовых результатов измерения напряжения, превышающих 10 вольт. Хотя это множество является бесконечным множеством, однако нетрудно ответить на вопрос является ли результат данного измерения напряжения его элементом или нет.
Множество можно определить, перечисляя его элементы. Эти элементы полностью характеризуют множество. Список элементов A={0,1,2,3} полностью определяет конечное множество (конечное число элементов). Нельзя перечислить все элементы бесконечного множества. Поэтому мы должны вместо списка указать некоторое свойство, присущее всем элементам множества, например, используя предикат (утверждение) x>10. Такое множество определяется элементами из окружающего мира (универсума), для которых утверждение является истинным. Таким образом, имеются два пути описания множества: явно с помощью списка либо неявно с помощью предиката.
Классическое (четкое) множество имеет четкие границы. Так классическое множество A, фигурирующее в примере в) может быть выражено как
,
что ясно, недвусмысленно говорит о граничном значении, равном 10. При этом , если x меньше, чем это число, то x принадлежит множеству A, в противном случае x не принадлежит этому множеству.
Нечеткие множества.Следуя идеям Заде, заметим, что многие множества для определения своих элементов требуют другие критерии (границы), чем один критерий вида или-или (например, напряжение или меньше или больше 10 вольт). Рассмотрим множество молодые люди. Годовалый ребенок, очевидно, является элементом этого множества, а столетняя персона наверняка не принадлежит к этому множеству. Но что можно сказать о 20-, 30-, 40-летних людях? Еще один пример связан с сообщениями о погоде, касающимися высокой температуры, сильного ветра или благоприятных дней. В других случаях критерий выглядит вроде бы как четкий, но воспринимается как нечеткий: предельная скорость автомобиля 60 километров в час, освободить номер в гостинице в 12 часов дня, 50-летний мужчина. Заде предложил использовать понятие степень принадлежности, чтобы переход от «принадлежности элемента к множеству» к «непринадлежности элемента множеству» был нерезким, а постепенным, плавным, т.е. границы нечеткого множества, что следует из его названия являются нечеткими, размытыми. При этом степень принадлежности, заданная для всех его элементов, называется функцией принадлежности и описывает полностью нечеткое множество. Степень принадлежности конкретного элемента множества представляет собой обычно положительное вещественное число, расположенное в диапазоне от 0 до 1 и часто обозначаемое греческой буквой . Чем больше такое число, тем больше степень принадлежности. На рис. 1.2 показано в качестве иллюстрации возможное определение нечеткого множества высокий уровень воды в баке с помощью функции принадлежности.
,
. Чем больше такое число, тем больше степень принадлежности. На рис. 1.2 показано в качестве иллюстрации возможное определение нечеткого множества высокий уровень воды в баке с помощью функции принадлежности.