Основы нечеткой логики

Логика, основанная на двух значениях истинности «Истина» и «Ложь», в ряде случаев оказывается неадекватной, когда идет речь об описании высказываний (утверждений) людей. С целью оценить численно степень истинности высказываний (утверждений) человека нечеткая логика применяет весь диапазон значений истинности от 0 (Ложь) до 1 (Истина). В результате нечеткая логика используется для построения законов управления, реализуемых с помощью нечетких регуляторов в системах автоматики. Отсюда основы нечеткой логики должны знать специалисты в области автоматического управления.

Нечеткий регулятор, применяемый на цементном заводе посредством нечеткой логики, например, стремится подражать (копировать) действиям оператора, обусловленным логикой рассуждений. В качестве иллюстрации рассмотрим расходный бак (резервуар питающей воды), который служит для

питания водой фрезера для разбуривания цементных пробок. При этом должен быть обеспечен постоянный расход жидкости. Упрощенная схема, отображающая процесс, подлежащий управлению (рис. 1.1), включает сам расходный бак, два датчика уровня и электромагнитный вентиль.

Рис. 1.1

Цель управления вентилем заключается в том, чтобы наполнять бак водой, когда ее уровень ниже, чем УН, и прекращать поступление воды в бак, если ее уровень больше, чем УВ. Выходной сигнал датчика нижнего уровня УН равен 1, когда уровень выше установленного значения УН, и равен 0, когда уровень ниже установленного значения УН. Аналогично можно приписать числовые значения выходному сигналу датчика верхнего уровня УВ. Вентиль открывается, когда входной сигнал V1 принимает значение 1, и закрывается, когда входной сигнал V1 становится равным нулю. В двухзначной (булевой) логике поведение регулятора можно описать следующим законом управления:

V1=. (1.1)

Стратегию оператора, которому поручено управлять положением вентиля, в данном случае можно описать следующим образом:

Если уровень низкий, то открываю вентиль V1, (1.2)

Если уровень высокий, то закрываю вентиль V1.

Стратегия (1.1) пригодна для построения программируемых логических контроллеров (ПЛК) с помощью булевой алгебры, а правила (1.2) применимы для построения нечетких регуляторов, использующих нечеткую логику. Здесь наша цель состоит не в том, чтобы дать детальное описание применения последней (т.е. нечеткой логике), а объяснить на примере, на каком основании строится нечеткая логика.

Лофти Заде, «отец нечеткой логики», утверждал, что большое число (масса) множеств в окружающем нас мире могут быть определены в рамках нечетко заданных (размытых) границ. Действительно, множество высоких гор или множество измерений уровня жидкости, меньших нижнего уровня (рис. 1.1), являются примерами таких множеств. Заде предложил расширить двухзначную логику, определяемую бинарной парой {0, 1}, на весь непрерывный интервал [0, 1] и с этой целью ввел постепенный переход ото лжи к истине.

Оригинальные и пионерские статьи по нечетким множествам, опубликованные им в 1965, 1973, 1975 гг., трактуют теорию нечетких множеств как результат расширения классической теории четких множеств.

Здесь мы сфокусируем свое внимание на теории нечетких множеств и рассмотрим основные определения и операции. Пожалуйста, примите во внимание, что интерпретация нечетких множеств, которая будет представлена вам, является лишь одной из возможных. Заде и другие авторы используют альтернативные определения. В дальнейшем жирными строчными буквами будем обозначать матрицы, например A; жирными прописными буквами - векторы, например x; курсивом – скаляры, например n; жирными прописными буквами – операции, например min.