Лекция 12. Знакопеременные ряды.

Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах.

Пусть - сходящийся знакоположительный ряд. Тогда его члены можно переставлять, менять местами, полученный ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.

Доказательство. Проведем доказательство по индукции.

Пусть меняются местами два члена ряда . Тогда в исходном и полученном перестановкой членов ряде частичные суммы, начиная с будут совпадать. Следовательно, ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, , будет сходиться и иметь ту же сумму.

Пусть при перестановке местами членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму.

Пусть переставляются членов ряда. Эта перестановка сводится к перестановке членов ряда, а затем к перестановке еще какого-либо члена с каким-либо другим (перестановке двух членов ряда).

По индуктивному предположению при перестановке местами членов ряда ряд сходится и имеет ту же сумму. Ряд, полученный перестановкой двух членов ряда, будет сходиться и иметь ту же сумму. Следовательно, и при перестановке членов ряда ряд будет сходиться и иметь ту же сумму.

Ряд называется знакопеременным, если среди членов ряда содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительных членов.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда сходится.

Теорема.Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство. Так как ряд сходится, то ряд тоже сходится. Ряд - знакоположительный, так как и сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным рядом , так как . Вычитая из сходящегося ряда сходящийся ряд , получаем сходящийся ряд (свойство сходящихся рядов) .