Пусть кусочно-гладкие контуры 
лежат внутри контура 
и вне друг друга. Пусть 
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным x, y в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда 
                 
| Соединим контуры линиями AB, CD, EK.
По формуле Грина для односвязной области криволинейные интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA равны двойным интегралам для верхней Dверх и нижней Dнижн областей.
Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях
|
=
= 
Складывая интегралы, получим
=. 
Отсюда имеем
= . Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.
Следствие 1. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал и n=1.
Тогда
. Поэтому, если в какой-либо точке нарушается непрерывность функций, P, Q или их частных производных, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку (мы получим один и тот же результат).
Следствие 2. Пусть Pdx+Qdy – полный дифференциал Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, 
, а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы 
. Докажите это самостоятельно.
