Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

1) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

2) Для любого замкнутого контура

3)

4) . - полный дифференциал.

Доказательство. Доказательство аналогично двумерному случаю, схема доказательства та же: . Докажите ее самостоятельно.

проводится по теореме о смешанных производных так же как в двумерном случае.

проводится по теореме Стокса (будет сформулирована и доказана ниже).

доказательство полностью аналогично двумерному случаю.

доказательство аналогично двумерному случаю.

Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива в трехмерном случае и доказывается так же.

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять двумя способами.

1) Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков, параллельных OX и OY. На отрезке, параллельном OX, dy=0, так как y не изменяется на этом отрезке. На отрезке, параллельном OY, dx=0, так как x не изменяется на этом отрезке. Тогда = +

2) Можно восстановить потенциал, как это делалось на первом курсе при решении дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и применить формулу Ньютона-Лейбница.

Пример. Вычислить интеграл .

1) =

2)

.

Сравнивая две записи потенциала, получим .

=.

Заметим, что аналогично вычисляется криволинейный интеграл от полного дифференциала по пространственной кривой.