Замена переменных в тройном интеграле.

Лекция 4. Приложения тройного интеграла.

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

y(x,y) j(x,y )

Пусть пространственное тело проектируется на плоскость OXY в область D, а на ось OZ в отрезок [c, d].Пусть «верхняя» граница тела описывается уравнением поверхности z = y(x, y), «нижняя» – уравнением z = j(x, y). Пусть элемент DV пространственного тела V проектируется на плоскость OXY в область Dxy , а на ось OZ в отрезок [z, z+Dz]. Для того чтобы вычислять тройной интеграл как предел интегральных сумм, нужно в интегральной сумме перебирать эти элементы по определенному алгоритму.

Если сначала перебирать элементы в столбце над областью D_xy, от нижней границы до верхней (внутренний интеграл), а затем перемещать область D_xy в D (внешний двойной интеграл), то получим повторный интеграл.

Если сначала перебирать элементы в слое [z, z+Dz] (внутренний интеграл), а затем .перемещать слой на [c, d], (внешний интеграл), то получим повторный интеграл .И в том, и в другом случае тройной интеграл сводится к определенному и двойному интегралам.

Пример. Вычислить массу тетраэдра плотностью f(x, y, z) = z, ограниченного плоскостями x+y+z = 1, x+z =1, x+y = 1, y+z =1.

Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей D_xyz^, D_u,v,w с кусочно-гладкой границей. Тогда , где - якобиан (определитель Якоби).

Теорема приведена без доказательства.