Уравнение Лапласа в конечных разностях

Составим разностную схему задачи Дирихле для уравнения Лапласа

.

В области , ограниченной кривой введем квадратную сетку с шагом . Во внутренних узлах сетки заменим частные производные конечными разностями

.

Подставим в уравнение

и найдем

. (3)

К полученной системе разностных уравнений (3) добавим систему значений функции в граничных узлах сетки и получим разностную схему уравнения.

Конфигурации внутренних узлов, связанных одним уравнением, называют шаблоном разностной схемы и для удобства построения схемы изображают на чертеже. Для схемы (3) шаблон изображен на рис. 2.

Рис. 2

В граничных узлах значение функции считают равным значению функции в ближайшей к этому узлу точке границы , т. е. (рис. 3) – это простой снос граничных условий или применяют линейную интерполяцию

(рис. 3),

Рис. 3

или (рис. 4).

Рис. 4

-внутренний узел, -граничный узел, - ближайшая к точка границы Г.

Пример 1

Найти решение уравнения Лапласа в области, ограниченной эллипсом (Г), если на границе Г области функция удовлетворяет условию .

Решение

Так как граница область, ограниченная , и граничные условия симметричны относительно обеих осей координат, достаточно найти решение задачи только в первой четверти координатной плоскости.

Составим таблицу точек границы

		1,89	1,49

Сделаем чертеж, построив и квадратную сеть с шагом

Граничные узлы A; B; C; D.

Внутренние узлы .

Вычислим значения функции в граничных узлах

(простой снос граничного условия из точки

(1; 1,89) границы ).

. Найдем координаты точки границы: ,

.

Для вычисления в точке применим линейную интерполяцию

.

, обозначим ,

, где

Обозначим значения решения во внутренних узлах сетки

(узлов мало, обозначения можно не использовать).

Выберем шаблон

Составим разностную схему .

Получим систему уравнений

Решив систему, получим

Получили значения в узлах сетки