Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Рассмотрим решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям .

Рис. 5

Построим в полуполосе два семейства параллельных прямых обозначим Обозначим . В каждом узле заменим

.

Подставим в уравнение . Обозначим получим .

Решим уравнение относительно

.

Полученное сеточное уравнение дополним уравнениями, аппроксимирующими граничные и начальные условия на той же сетке узлов:

Получим систему разностных уравнений, называемую разностной схемой для уравнения теплопроводности при заданных начальном и граничных условиях:

(4)

Использованный в схеме шаблон узлов называется явным двухслойным шаблоном, он имеет вид

Рис. 6

Доказано, что полученная сеточная схема сходится к решению исходной задачи с погрешностью и устойчива при . Наиболее удобный вид сеточное уравнение имеет при

и при

Уравнение теплопроводности можно аппроксимировать, безусловно, устойчивой двухслойной неявной разностной схемой, если заменить в нем

Обозначим и получим неявную сеточную схему

с шаблоном узлов

Рис. 7

Сеточное решение сходится к точному с порядком погрешности но нужно помнить, что погрешность приближенного решения, полученного методом конечных разностей, складывается из трех погрешностей:

1) погрешности замены дифференциального уравнения разностным;

2) погрешности аппроксимации краевых и начальных условий;

3) погрешности решения системы уравнений.

Пример 2

Найти решение уравнения теплопроводности

удовлетворяющее начальному условиюи граничным условиям .

Взять

Решение

Составим явную разностную схему задачи. Так как то

Составим схему

Решение запишем в таблице

j	i
		0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	0,00
	0,02			0,80	0,80	0,48
	0,04		0,40	0,64	0,64	0,40
	0,06		0,32	0,52	0,52	0,32
	0,08		0,26	0,42	0,42	0,26
	0,10		0,21	0,34	0,34	0,21

Первую строку таблицы заполним, используя начальное условие . Первый и последний столбцы заполним, используя краевые условия: остальные строки и столбцы заполним, используя сеточное уравнение .