Метод конечных разностей приближенного решения дифференциального уравнения с частными производными

Примеры уравнений математической физики

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ № 2

1.Уравнение Лапласа (в прямоугольных координатах)

.

Уравнение используют для математического описания плоских электростатических и магнитных полей, стандартных тепловых полей и др., называют уравнением потенциала. Выражение, стоящее в левой части уравнения, обозначают и уравнение записывают в виде - оператор Лапласа).

2. Уравнение Пуассона: т. е.используют в задачах электростатики, электронной оптики, теории упругости и др.

3. Уравнение теплопроводности (диффузии)

.

Это однородное уравнение теплопроводности. - постоянная, иногда называется коэффициентом температуропроводности. Уравнение описывает линейные диффузионные процессы, в частности, распространение тепла в тонком стержне

-

неоднородное уравнение теплопроводности.

Функция характеризует присутствие внутри стержня тепловых источников или поглотителей тепла.

4. Волновое уравнение

описывает свободные колебания тонкой струны. Если колебания совершаются под действием внешней силы, характеризуемой функцией , уравнение имеет вид

.

Все перечисленные уравнения являются частными случаями уравнения

,

линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка относительно искомой функции двух переменных.

Суть метода конечных разностей такова: задачу решения дифференциального уравнения с непрерывной областью изменения аргументов и непрерывными краевыми и начальными условиями подменяют другой задачей. Вместо непрерывной области изменения аргументов рассматривают соответствующую дискретную область (сетку). Производные заменяют конечно-разностными соотношениями в выбранных точках (узлах сетки). Дифференциальное уравнение заменяют уравнением в конечных разностях. Граничные и начальные условия формулируют для новой задачи в соответствующих узлах сетки. Решение этой новой задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений с большим числом уравнений и неизвестных. Нужно понимать, что сразу же возникают следующие вопросы:

- как выбрать точки дискретного изменения аргумента, как выбор этих точек сказывается на точности решения ;

- какой должна быть точность аппроксимации производных разностными отношениями, чтобы решение разностной задачи было достаточно близким к решению основной задачи;

- как влияют погрешности, внесенные в начале вычислений на точность результата. Если малые погрешности в начале расчета не сказываются заметно на результате, то говорят, что вычислительная разностная схема устойчива. В противном случае схема неустойчива. Можно пользоваться только устойчивыми схемами.

Проблемы аппроксимации и устойчивости вычислительных схем метода сеток решаются по-разному для различных типов дифференциальных уравнений. Заниматься этими вопросами не будем.

Рассмотрим построение простейшей разностной схемы.

Пусть на плоскости xoy задана область с границей .

Построим на плоскости два семейства параллельных прямых: ,

с шагом и с шагом . Точки пересечения прямых назовем узлами. Два узла назовем соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси Ox или Oy на или соответственно. Выделим узлы, принадлежащие области и некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные от границы в направлении Ox или Oy на расстоянии меньшем, чем или . Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними. Оставшиеся узлы выделенного множества называются граничными.

Рис. 1

Граничные узлы на рис. 1 обозначены крестом, внутренние узлы точкой. Значения искомой функции в узлах сетки обозначим . В каждом внутреннем узле заменим частные производные разностными отношениями

(1)

В граничных узлах используем формулы

. (2)