Квадратурный метод решения уравнений Вольтерра второго рода

Уравнение Вольтерра второго рода

имеет единственное решение при любом , если ядро - непрерывная функция в области , и функция непрерывна на отрезке .

Для вычисления интеграла выберем формулу серединных прямоугольников. Разобьем отрезок точками . В каждом частичном промежутке разбиения выберем среднюю точку

.

Искомую функцию заменим ступенчатой функцией, принимающей постоянное значение на каждом частичном промежутке . Считаем, что верхняя граница интеграла изменяется дискретно, принимая значения

где .

Заменим в уравнении интеграл полученной суммой

Найдем значения искомой функции в точках , получим систему

(7)

Обозначим

Запишем систему (7) в развернутом виде

(8)

Получим систему с треугольной матрицей.

Решив систему, получим таблицу значений искомой функции в точках

Если отрезок разбит на равные части, то

Пример 1

Дано уравнение Фредгольма

Найти значение искомой функции на отрезке .

1. Методом итераций.

2. Применив квадратурную формулу Симпсона. Отрезок разбить на две части.

3. Сравнить полученные результаты в узлах

Решение

1. Метод итераций.

Рассмотрим условие сходимости итерационного процесса

Дано:

при т.е. . Получим следовательно итерационный процесс сходится к решению.

Запишем уравнение в виде

Возьмем тогда

Вычислим интеграл по частям

Взяв получим

Возьмем

В узлах получим таблицу приближенных значений

		0,5
	0,1606	0,5974	1,0591

2. Квадратурный метод решения. Возьмем Узлы формулы

Формула Симпсона для

Обозначим

Подставим в заданное интегральное уравнение и получим уравнение

(*)

Возьмем

Подставим эти значения в полученное уравнение

Вычислим коэффициенты. Запишем систему в стандартной форме и решим методом Гаусса

Составим таблицу значений приближенного решения интегрального уравнения

T		0,5
	0,1646	0,5867	1,0546

Шаг интегрирования был достаточно большим, значения приближенного решения полученного методом итераций и квадратурным методом различаются на 0,5 % в точке на 1,8 % в точке и на 2,5 % в точке Если найденные значения подставим в формулу (*), получим формулу приближенного решения уравнения .