Дискретные модели динамических систем. Клеточные автоматы
Лабораторная работа №2.
Наверх
Контрольные вопросы
Оформление работы
Наверх
Группа, фамилия, И.О. Название лабораторной работы. Цель лабораторной работы. Порядок выполнения работы.
Результаты работы:
1) таблица 1 с занесенными значениями скорости и фрактальной размерности; 2) график FD = f(v). Краткие выводы. Ответы на контрольные вопросы.
1. Определите понятия “фрактал”, “фрактальный”. 2. Приведите примеры фрактальных структур в природе. 3. В чем отличие природных фрактальных структур от их математических (“идеальных”) представлений? 4. Что такое фрактальный кластер? 5. Что характеризует размерность фрактального кластера? 6. О каких процессах в природе свидетельствует образование фрактальных систем: фрактальных кластеров? Обоснуйте Ваше утверждение.
Цель работы: Исследование процессов самоорганизации в дискретных системах. Изучение процесса роста (активации клеток) на компьютерной модели.
Процессы, наблюдаемые в окружающем мире, мы подразделяем на детерминированные, развитие которых предопределяется начальными условиями, и стохастические, которые описываются с помощью статистических законов. В работе 1 было рассмотрено явление самоорганизации в результате стохастического процесса (образование и рост фрактального кластера). В результате подобных процессов для определенного диапазона параметров стохастических процессов мы получаем структуры, относительно постоянные по своим интегральным характеристикам (например, фрактальной размерности). Можно ли говорить о какой-либо самоорганизации в случае детерминированных процессов? Недавние исследования показали, что к самоорганизации способны и детерминированные системы, в которых состояние одного элемента строго определяется состоянием соседних элементов.
В качестве типичного примера клеточного автомата обычно приводят компьютерную игру “Жизнь”, которую еще в 1970 г. создал для учебных целей английский математик Дж.Конвей.
Эта игра упрощенно моделирует эволюцию, развитие и взаимодействие колоний микроорганизмов. В ней рассматривается бесконечная плоская решетка квадратных элементов-клеток. Правила этой игры следующие: каждый элемент может находиться в состоянии покоя или активности; элемент переходит из состояния покоя в активное состояние, если по соседству с ним оказались три активных элемента, причем в число соседей включены только четыре ближайших элемента на квадратной решетке. Время в этой игре дискретно (t = 1,2,... k). Каждый элемент решетки может быть “живым” (в нем есть микроорганизмы) или “мертвым” (микроорганизмов нет). Живые элементы можно отметить черным цветом, а мертвые - белым. Состояние каждого элемента может меняться в моменты времени t = 1,2,3... У каждого элемента есть восемь соседей, которые имеют с ним общие ребра и вершины.
Пусть в бесконечной цепочке клеток каждая клетка может находиться в состоянии “покоя” или “возбуждения”. Можно говорить в этом контексте и о “живой” или “мертвой” клетке. “Возбужденная в момент t времени клетка посылает сигнал, который в момент времени доходит до соседних клеток. Клетка возбуждается (“живет”) в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток. Если же сигналы приходят с двух сторон, то клетка не возбуждается. (Если проводить аналогию с живыми организмами, это может означать, что “теснота”, недостаток ресурса делают невозможным размножение, и численность популяции сокращается). Для такого автомата, зная, сколько клеток возбуждено в начальный момент времени, можно уже предсказать, сколько клеток будет возбуждено через t секунд. Наглядный эффект получается при моделировании такого клеточного автомата на экране дисплея. Нетрудно видеть, что картину, возникающую на экране, можно рассматривать как фрактальную структуру. (см. рисунок 3.2). Картина становится сложнее, если мы введем уже не одну начальную клетку, а несколько, однако и здесь можно наблюдать масштабную инвариантность, а это означает, что структура системы фрактальна. Она получила название «Ковер Серпинского».
