Быстрое преобразование Фурье(самостоятельно)

Дискретно непрерывное и дискретное преобразование Фурье.

Преобразование спектра при дискретизации системы.

Дискретные сигналы и системы

Корреляционная функция случайного процесса

Случайный процесс X(t) называется стационарным, если его статические характеристики не зависят от начала отчета времени.

m_x(t) = M_x;

D_x(t) = D_x;

K_x(t₁,t₂) = K_x(τ), где τ = t₂-t_1;

Рассмотрим равномерную дискретизацию сигнала X(t) выполняемую с помощью импульсного элемента

На выходе импульсного элемента будет определяться по формуле:

X_d(t) = X(t)p(t),

где p(t) –дискредитируемая последовательность импульсов.

p(t) =

Разложить данную функцию в ряд Фурье, по схеме комплексно-экспоненциальной функции получим:

p(t) = ,

где C_K = ;

Тогда в результате дискретизации:

X_D(t)=*x(t)*.

Разложение непрерывного сигнала x(t) в комплексный ряд Фурье может быть распространено и на расположение дискретных сигналов, которые записываются решетчатой функцией вида x[n], которая может быть получена в результате дискретизации x(t).

Значение дискретной последовательности x[n] будет совпадать с отчётами следующего вида:

X(n T₀)=x(t)

t<nT₀

Спектром последовательности x[n] называют комплексную функцию :

X () == (14)

Выражение (14) эквивалентно разложению спектральной функции X[n] в комплексный ряд Фурье, при этом коэффициенты ряда соответствуют последовательности :

x[n] = X( (15)

(14) и (15) – пара преобразований Фурье (дискретное непрерывное преобразование Фурье (ДНПФ)).

(1.50)

Основная идея БПФ состоит в разбиении исходного преобразования (1.50) на несколько частей, каждую из которых можно вычислить отдельно, затем линейно просуммировать с остальными, чтобы получить исходное преобразование. Эти части меньшего размера можно, в свою очередь, разбить на еще меньшие. Пусть длина временного ряда равна .Если использовать деление исходного преобразования (1.50) на каждом шаге на две части, то исходный временной ряд будет состоять из частей так, что , тогда для выполнения вычислений потребуется операций сложения и операций умножения на каждом шаге, что составляет примерно операций. Это значительно меньше тех операций, которые необходимы при вычислениях по формуле (1.50). Эффективность алгоритма БПФ линейно возрастает с ростом длины реализации.