Матрицы смежности и инцидентности

Пример

Маршруты и пути

Понятия смежности, инцидентности, степени

Если x={v,w} - ребро, то v и w − концы ребра x.

Если x=(v,w) - дуга ориентированного графа, то v − начало, w – конец дуги.

Вершина v и ребро x неориентированного графа (дуга x ориентированного графа) называются инцидентными, если v является концом ребра x (началом или концом дуги x ).

Вершины v, w называются смежными, если {v,w}ÎX.

Степенью вершины v графа G называется число d(v) ребер графа G, инцидентных вершине v.

Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей.

Полустепенью исхода (захода) вершины v ориентированного графа D называется число d⁺(v) (d^-(v)) дуг ориентированного графа D, исходящих из v (заходящих в v).

Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в d⁺(v), так и в d^-(v).

Последовательность v₁x₁v₂x₂v₃...x_kv_k+1, (где k³1, v_iÎV, i=1,...,k+1, x_iÎX, j=1,...,k), в которой чередуются вершины и ребра (дуги) и для каждого j=1,...,k ребро (дуга) x_j имеет вид {v_j,v_j+1} (для ориентированного графа (v_j,v_j+1)), называется маршрутом, соединяющим вершины v₁ и v_k+1 (путем из v₁ в v_k+1).

В графе, изображенном на рис.4, v₁x₁v₂x₂v₃x₄v₄x₃v₂ - маршрут, v₂x₂v₃x₄v₄ – подмаршрут;

маршрут можно восстановить и по такой записи x₁x₂x₄x₃ ;

если кратности ребер (дуг) равны 1, можно записать и так v₁v₂v₃v₄v₂ .

Цепь − незамкнутый маршрут (путь), в котором все ребра (дуги) попарно различны.

Цикл − замкнутая цепь (в неориентированном графе).

Контур − замкнутый путь (в ориентированном графе).

Простой путь (цепь) − путь (цепь, цикл, контур), в котором ни одна дуга/ребро не встречается дважды.

Простой цикл (контур) − цикл (контур), в котором все вершины попарно различны.

Гамильтонова цепь (путь, цикл, контур) − простая цепь (путь, цикл, контур), проходящая через все вершины.

Эйлерова цепь (путь, цикл, контур) − цепь (путь, цикл, контур), содержащая все ребра (дуги) графа по одному разу.

Длина маршрута (пути) − число ребер в маршруте (дуг в пути).

Утверждение 1. Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени всех его вершин были четными.

Утверждение 2.Для того чтобы связный псевдограф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно 2 вершины нечетной степени.

Пусть D=(V,X) ориентированный граф, V={v₁,...,v_n}, X={x₁,...,x_m}.

Матрица смежности ориентированного графа D − квадратная матрица

A(D)=[a_ij] порядка n, где

Матрица инцидентности − матрица B(D)=[b_ij] порядка n´m, где

Матрицей смежности неориентированного графа G=(V,X) называется квадратная симметричная матрица A(G)=[a_ij] порядка n, где

.

Матрица инцидентности графа G называется матрица B(G)=[b_ij] порядка n´m, где