Пусть 
– ненулевое подпространство 
, 
– базис V.
По определению базиса всякий вектор 
линейно выражается через векторы 
, т.е.
. (*)
Определение. Координатами вектора 
в базисе Bназываются коэффициенты его разложения (*).
Обозначение: 
.
Пример. Найдем координаты вектора 
в стандартном базисе 
и в базисе, состоящем из векторов 
.
Координаты вектора в стандартном базисе можно найти сразу: 
, а значит, 
.
Пусть вектор в базисе 
имеет координаты 
и 
. Тогда, по определению координат вектора в базисе, получим векторное уравнение 
, решив которое, найдем и :
.
Итак, 
.
Теорема.(свойства координат вектора) Пусть 
– ненулевое подпространство , 
– базис V. Тогда 
и 
.
Доказательство. Пусть 
, 
. По определению координат вектора, это значит, что и 
. Найдем 
, откуда по определению координат вектора, получаем 
, т.е. .
Свойство координат произведения вектора на число докажите самостоятельно
