Базис и размерность подпространства арифметического векторного пространства

Определение. Базисом подпространства V пространства называется упорядоченная линейно независимая система векторов из V, через которую линейно выражаются все векторыV.

Итак, – базис V тогда и только тогда, когда:

1) – линейно независимая система векторов,

2) .

Примеры. Рассмотрим подпространства из § 1.

1)Нулевое подпространство не имеет базиса, так как любая система содержит нулевой вектор, а поэтому линейно зависима.

2)Базис образуют, например,векторы. Действительно, было показано, что . Несложно проверить, что линейно независимы (убедитесь в этом самостоятельно). Этот базис называют стандартным базисом арифметического векторного пространства.

3)В подпространстве базисом является набор , где , так как , и векторы линейно независимы, так как векторы нельзя выразить один через другой.

Возникают вопросы. Любое ли подпространство имеет базис, и, если имеет, однозначно ли этот базис определяется? Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.

Теорема 1. Любое ненулевое подпространство арифметического векторного пространства имеет базис.

Доказательство. Пусть – ненулевое подпространство .

Если , то, как было показано, оно имеет базис.

Пусть теперь . Так как V – ненулевое подпространство, то обязательно найдется вектор .

Рассмотрим систему . Эта система линейно независимая по критерию, так как состоит из одного ненулевого вектора. Если , то – базис V. Если , то найдется вектор .

Рассмотрим систему . Эта система линейно независимая по критерию, так как ее векторы ненулевые и никакой вектор не выражается через другой. Если , то – базис V. Если , то найдется вектор .

Далее опять рассмотрим систему и аналогичными рассуждениями получим, что либо и – базис V, либо опять найдется ненулевой вектор, который не принадлежит линейной оболочке рассмотренной системы.

Покажем, что этот процесс не может быть бесконечным. Действительно, пусть построена линейно независимая система . Так как , то каждый вектор из линейно выражается через его базис, а значит, векторы линейно независимой системы тоже выражаются через базис , а поэтому по основной лемме о двух системах векторов .

Таким образом, на некотором шаге будет получена линейно независимая система , такая что , т.е. будет построен базис V■

Теорема 2. Все базисы подпространства состоят из одинакового числа векторов.

Доказательство. Пусть – ненулевое подпространство , и – базисы V. Покажем, что .

Так как – базис V, то через эти векторы линейно выражаются любые векторы из V,в том числе векторы базиса , которые линейно независимы по определению базиса. Применяя основную лемму о двух системах векторов, делаем вывод, что число векторов базиса B не превосходит число векторов базисе A, т.е. .

Так как – базис V, то через эти векторы линейно выражаются любые векторы из V,в том числе векторы базиса , которые линейно независимы по определению базиса. Применяя основную лемму о двух системах векторов, делаем вывод, то число векторов базиса A не превосходит число векторов базисе B, т.е. ■

Следствие 1. В любая система, состоящая более чем из n векторов линейно зависимая.

Доказательство. Действительно, любой вектор из линейно выражается через n векторов базиса. Если система линейно независима, то по основной лемме о двух системах векторов, число ее векторов не превосходит n■

Следствие 2.Упорядоченная система вектор является базисом тогда и только тогда, когда она линейно независима и состоит из n векторов.

Доказательство.

Необходимость. Если система векторов является базисом , то по определению она линейно независимая, а по теоремам 1 и 2 состоит из n векторов.

Достаточность. При добавлении к линейно независимой системе векторов любого вектора из число векторов в систем будет больше n, а значит, по следствию 1 векторы станут линейно зависимыми. Применяя теорему 2 предыдущего параграфа, делаем вывод, что любой вектор линейно выражается через векторы данной системы, которая, кроме того, по условию линейно независимая. Таким образом, все условия определения базиса выполнены n■

Теорема 2 доказывает корректность следующего определения.

Определение. Размерностью ненулевого подпространства V пространства называется число векторов его базиса.Размерность нулевого подпространства полагают равной нулю.

Обозначение:

В силу следствия 2 , а по теореме 1 (см. доказательство) размерность подпространства V .