Длина вектора и угол между векторами

Скалярное умножение векторов в .

Определение. Скалярным умножением векторов называется число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих векторов, т.е. .

Например, .

Теорема 1. (свойства скалярного умножения) Для любых векторов , для любого числа :

1) ; 2) ;

3) ; 4) , .

Доказательство.

1) .

2)

.

3) самостоятельно.

4) самостоятельно ■

Определение. Длиной вектора называется число, равное арифметическому квадратному корню из его скалярного квадрата, т.е.

.

Например, .

Теорема 2. (свойства длины вектора) Для любых векторов , для любого числа :

1) ; 2) ;

3) ; 4) неравенство Шварца: .

Доказательство.

1) – 3) самостоятельно

4) Рассмотрим вектор , по свойствам скалярного умножения , т.е. . Получили квадратный трехчлен относительно . Неравенство верно для любых в том и только том случае, когда , т.е. . Извлекая корень из обеих частей последнего неравенства, получим, что ■

Из неравенства Шварца следует, что, если векторы ненулевые, то , или, раскрыв модуль, . Это значит, что найдется действительное число такое, что .

Определение. Углом между векторами называется число такое, что .

Определение.Векторыназывается ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Теорема 3. (свойства ортогональных векторов).

1) Нулевой вектор ортогонален всякому вектору пространства .

2) Если вектор ортогонален двум векторам, то он ортогонален каждому вектору из линейной оболочки этих векторов.

3) Векторы ортогональны тогда и только тогда, когда угол между ними равен .

4) Ненулевые попарно ортогональные векторы линейно независимы.

Доказательство.

1) –3) самостоятельно.

4) Пусть – ненулевые попарно ортогональные векторы. Докажем, что они линейно независимы. Допустим, что векторы линейно зависимы. Следовательно один из векторов можно линейно выразить через другие. Пусть, например, . Тогда, умножая скалярно обе части равенства на , получим, что . Поскольку данные векторы попарно ортогональны, то по определению ортогональных векторов получим, что все скалярные произведения в правой части равны нулю, а поэтому . В силу свойств скалярного умножения скалярный квадрат вектора равен нулю только в том случае, когда вектор нулевой, но это противоречит условию – данные векторы ненулевые. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, а начит, векторы линейно независимы■