Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число =^т=а₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n. Часто вместо используется обозначение (,).

Если, к примеру, - контейнеры с товарами, а - стоимость одного контейнера, то - суммарная стоимость всех контейнеров.

Скалярное произведение имеет следующие основные свойства:

· =- коммутативность.

· (+)=+- дистрибутивность.

· k=(k)=(k) - любой из векторов можно умножить на число, не равное нулю.

· >0 при 0; =0 только в случае =0 - скалярный квадрат не нулевого вектора всегда положителен.

· Если =0, то векторы и перпендикулярны (ортогональны).

Пространство всех векторов, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством. Легко проверить, что орты описанных ранее пространств попарно ортогональны, т.к. =0 при ij. Таким образом, введенное евклидово пространство векторов имеет ортогональный ортонормированный базис.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры операций с векторами.

1.Для векторов, вычислить комбинацию

Решение: .

2.Определить длину векторов и из предыдущего примера.

Так как длина вектора , то: для
для

3.Исследовать линейную зависимость и.

Составим комбинацию l₁+ l₂= 0, т.е. . Переходя к алгебраической форме записи, имеем систему

откуда l₁ = l₂ = 0.

Таким образом, данные векторы линейно независимы.

4.Вектор разложить по базису; ,.

Убедившись, что и линейно независимы (по образцу примера 3), запишем: , где k₁ и k₂ неизвестны, т.е. . В алгебраической форме имеем систему уравнений

, откуда

Таким образом, искомое разложение: .

5.Найти скалярное произведение для векторов.

По определению скалярного произведения, имеем

.

6.Вычислить скалярный квадрат вектора.

Решение:.

Вопросы для самоконтроля:

1. Определение вектора в n–мерном пространстве.

2. Длина вектора.

3. Линейная комбинация векторов.

4. Линейная зависимость векторов.

5. Разложение вектора по базису.

6. Орт.

7. Разложение вектора по ортам.

8. Скалярное произведение векторов и его свойства.