Основные определения и понятия

Лекция 5. Векторы

Вопросы для изучения:

1. Основные определения и понятия.

2. Скалярное произведение векторов.

Частный случай матрицы, состоящей из одного столбца, имеет широкое самостоятельное применение. Геометрическое изображение вектора направленным отрезком, известное из школьного курса, можно определить как совокупность проекций вектор-отрезка, записанных в виде матрицы-столбца. Тогда имеем понятие свободного вектора, не зависящего от точки приложения, которая может быть как в начале координат (радиус-вектор), так и в любой точке пространства. Направление вектора всегда строго сохраняется. Для двумерного случая: или ; или . Для общности, все проекции в дальнейшем обозначаются через хи называются координатами вектора. Если какая-то проекция хотрицательна, то она откладывается в противоположную сторону соответствующей оси координат.

Совершенно так же выглядят векторы =в трехмерной системе координат - добавляется координата z. Но векторы размерности более трех наглядно не представимы - они могут быть поняты только по аналогии. Общее определение: вектором в n-мерном пространстве называется упорядоченный набор n координат =, число которых равно размерности пространства, т.е. n.

Длина вектора определяется формулой d=. Все операции с векторами - те же, что и матрицами.

Рассмотрим линейную комбинацию трех векторов: k+k+k.

Если равенство k+k+k=0 возможно только при k=k=k=0, то векторы , и называются линейно независимыми. Иначе, по крайней мере, один из векторов можно выразить суммой двух других и векторы будут линейно зависимыми . Например, при k0 можно записать: =(- k- k).

Максимально возможное число линейно независимых векторов равно размерности пространства. Так, для плоскости возможны только два таких вектора, для прямой - один. Для n-мерного пространства число векторов равно n.

Пусть на плоскости имеются векторы , и. Покажем, что они линейно зависимы. Составим их линейную комбинацию: и перейдем к алгебраической форме:

.

Таким образом, положив k=1, имеем: или , т.е. третий вектор не является независимым и выражается суммой двух других или разлагается по двум другим векторам. Рассмотрим первые два вектора подробнее: и . Тогда - очень компактная запись через единичные векторы (или орты). Покажем, что орты линейно независимы: k+ k= или , откуда k=k=0.

Так как с и d произвольны, то, очевидно, любой вектор на плоскости можно представить комбинацией двух ортов и . Это называется разложением вектора по единичному базису или, точнее, по ортонормированному, т.к. длина каждого орта равна 1. Конечно, можно разлагать не по ортам, а по двум любым линейно независимым векторам (по общему базису), к примеру, и , но разложение с помощью ортов является и простым, и общим.

Все введенные выше понятия справедливы для пространства любой размерности. В n-мерном пространстве всегда имеются n линейно независимых ортов , ,...,, поэтому любой вектор можно разложить по ортонормированному базису: =а₁₊а₂+...+а_n. Разложение векторов по базису из линейно независимых векторов всегда единственно в любом принятом базисе.