Отношения между сложными суждениями

Таблицы истинности

Другими словами, она ложна тогда и только тогда, когда ложно хотя бы одно простое высказывание, из которых она состоит. Например, «Даша сходила в гастроном (а) и купила хлеб (в)» будет истинным, если и только если Даша на самом деле сходила в гастроном и действительно купила хлеб.

Конъюнкция (аΛв) истинна в одном и только в одном случае, когда истинны все простые высказывания, входящие в него.

Построение формулы позволяет анализировать правильность сложного суждения, так как при формализации выделяются все составляющие его простые суждения. Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок (логических постоянных): конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, импликации, эквиваленции.

Сложные суждения

а	в	а Λ в	а V в	а Ý в	а ® в	а º в	а	ā
и	и	и	и	л	и	и	и	л
и	л	л	и	и	л	л	л	и
л	и	л	и	и	и	л
л	л	л	л	л	и	и

Дизъюнкция:

· В нестрогом значении связка «или» употребляется в соединительно-разделительном смысле (а V в). «По форме правления буржуазное государство может быть республикой или монархией». «Или» разделяет, так как существуют и государства-республики и государства-монархии. «Или» соединяет, так как существуют государства, которым присущи черты республики и монархии одновременно.

· В строгом значении «или» употребляется только в разделительном смысле (а Ý в). Члены строгой дизъюнкции исключают друг друга. Например, «Я поеду на юг на поезде или полечу на самолете» в соединительном смысле ложно, так как невозможно одновременно ехать на поезде и лететь на самолете.

Таблицу истинности для импликацииможно разъяснить на таком примере: «Если через проводник пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (в)». Импликация ложна только в одном случае: если посылка истинна (ток пропустили через проводник), а заключение ложно (проводник не нагрелся). В остальных случаях импликация истинна.

Эквиваленция – это по существу конъюнкция двух импликаций (прямой и обратной): (а ® в) и (в ® а). Истинна тогда и только тогда, когда оба члена эквиваленции либо истинны, либо ложны.

Отношения между сложными высказываниями зависят от значений истинности, которые они принимают при изменении значений истинности входящих в них простых высказываний.

Два сложных высказывания называются совместимыми, если при разнообразных значениях истинности входящих в них простых высказываний они хотя бы один раз являются вместе истинными.

Пример: «а Λ в» и «а V в» совместимы, так как в случае, когда а и в истинны, оба эти высказывания принимают значения «истина».

В отношении эквивалентности (равнозначности) находятся сложные высказывания, которые при любых значениях входящих в них простых высказываний принимают одинаковые истинные значения. Таким образом, они взаимозаменяемы.

Высказывания находятся в отношении логического следования, если всегда, когда истинно одно высказывание, то истинно и другое.

Пример: а Λ в - и Þ а V в - и.

Два высказывания находятся в отношении противоречия, если при любых распределениях значений истинности простых высказываний они принимают всегда противоположные значения.

Пример: Высказывания с логической формой (а Λ е) и (ā V ē) являются противоречивыми, так как значения истинности в третьем и шестом столбцах таблицы противоположны.

а	е	а Λ е	ā	ē	ā V ē
и	и	и	л	л	л
и	л	л	л	и	и
л	и	л	и	л	и
л	л	л	и	и	и

Противоположными (контрарными) называются такие сложные суждения, которые могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными.

Субконтрарными называются такие сложные суждения, которые совместимы по истинности, то есть могут быть одновременно истинными, но несовместимы по ложности, то есть, не могут быть одновременно ложными при одних и тех же значениях истинности входящих в них простых суждений.