NOT F истинно тогда и только тогда, когда F ложно.
Все значения логической формулы в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть полностью описаны с помощью таблицы истинности.
Отрицание (ù F) есть одноместная операция, посредством которой ее значение есть отрицание значения операнда. В программировании для этого используют оператор NOT:
Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности, связывающей значения истинности операнда и операции.
F
ùF
и
л
л
и
На естественном языке эта операция определяет высказывание “неверно, что F истинно (ложно)”.
Если F есть высказывание, то ù F также высказывание. Если ù F есть высказывание, то ù (ù F) также есть высказывание.
Пример: Пусть есть высказывание
“А:=“4 - простое число”.
“неверно, что 4 –простое число”, т.е.
ù А = и ;
D:=“Киев - столица Узбекистана”.
“неверно, что Киев – столица Узбекистана”, т.е.
ù D = и.
Конъюнкция (F1&F2) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F = F1&F2, описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания истинно тогда и только тогда, когда истинны значения двух операндов F1 и F2.
В программировании для этого используют оператор AND:
F1 AND F2 истинно тогда и только тогда, когда истинны F1 и F2.
Таблица истинности операции конъюнкции, описывающая значения истинности операндов и операции имеет следующий вид:
F1
F2
F1&F2
л
л
л
л
и
л
и
л
л
и
и
и
Из определения операций коньюнкции и отрицания очевидно, что (F&ù F)=л.
Если даны формулы F1, F2,…Fn, то истинное значение формулы
F= F1&F2&…&Fn определяется истинностью всех формул F1, F2,…Fn.
На естественном языке эта операция выражается соединительными словами:
“..и..“, “..также..“, “как ..,так..“, “..несмотря на ..“ и т.п.
Пример: Пусть даны высказывания A:="компьютер содержит основной микропроцессор", B:="компьютер содержит оперативную память", C:=”компьютер содержит контроллеры"; D:="компьютер содержит порты ввода - вывода".
Тогда формула F = (A&B&C&D) отражает высказывание "компьютер содержит основной микропроцессор, оперативную память, контроллеры и порты ввода-вывода" .
Дизъюнкция (F1ÚF2) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F= F1ÚF2, описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания ложно тогда и только тогда, когда ложны значения двух операндов F1 или F2.
В программировании для этого используют оператор OR:
F1 OR F2 ложно тогда и только тогда, когда ложны F1 и F2.
F1
F2
F1Ú F2
Эту операцию наглядно можно изобразить с помощью таблицы истинности.
л
л
л
л
и
и
и
л
и
и
и
и
Из определения операций дизьюнкции и отрицания очевидно, что (FÚù F)=и.
Если даны формулы F1, F2,…Fn, то истинностное значение формулы
F= F1ÚF2Ú…ÚFn определяется истинностью хотя бы одной формулы F1, F2,…или Fn.
В естественном языке эта операция выражается разъединительными словами “..или..“, “..либо.. “ и т.п. Следует обратить внимание, что в повседневной речи союз “или” употребляется в двух смыслах: “исключающее или”, когда истинность составного высказывания определяется истинностью только одного из высказываний, и “не исключающее или”, когда истинность составного высказывания определяется истинностью хотя бы одного из высказываний.
Пример: Пусть даны высказывания A:="монитор есть машинная программа, которая наблюдает, регулирует, контролирует или проверяет операции в системе обработки данных", B - "монитор в языках программирования есть высокоуровневый механизм взаимодействия и синхронизации процессов, обеспечивающий доступ к неразделяемым ресурсам” и C - "монитор есть дисплей, используемый для контроля процессов и управления системой".
Тогда формула F = (AÚBÚC) отражает высказывание "монитор есть машинная программа, которая наблюдает, регулирует, контролирует или проверяет операции в системе обработки данных, или в языках программирования - это высокоуровневый механизм взаимодействия и синхронизации процессов, обеспечивающих доступ к неразделяемым ресурсам или дисплей, используемый для контроля процессов и управления системой".
Пример: Пусть даны высказывания A:="в компьютере применяют матричный принтер", B:="в компьютере применяют струйный принтер", C:="в компьютере применяют лазерный принтер"; D:="в компьютере применяют литерный принтер".
Тогда формула F = (AÚBÚCÚD) отражает высказывание " в компьютере применяют матричный, струйный, лазерный или литерный принтеры".
Импликация (F1®F2) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и F2 получают новую формулу F=(F1®F2), отражающую сложное высказывание. Значение этого высказывания ложно тогда и только тогда, когда истинно значение F1 и ложно F2.
В программировании для этого используют оператор IMPLIES:
F1 IMPLIES F2 ложно тогда и только тогда, когда F1 истинно, а F2 ложно.
Таблица истинности имеет следующий вид:
Высказывание
F1 называют посылкой, а F2 – заключением.
F1
F2
F1®F2
л
л
и
л
и
и
и
л
л
и
и
и
Импликация играет особую роль в математической логике, т.к. многие доказательства представляются в условной форме: “если…, то…”. При этом из истинности посылки (F1) и истинности импликации (F1®F2) следует истинность заключениея F2.
На естественном языке эта операция выражается словами "если ..., то ... ", "тогда ..., когда ... ", "постольку ..., поскольку ... ", "при наличии ..., следует ... ", " ... есть достаточное условие для ... ", "... есть необходимое условие для ... ", "... при условии, что ..." и т. п..
Употребление в повседневной речи слов “если…, то…” несколько отличается от использования их в математической логике. Так в повседневной речи, если высказывание F1 ложно, то сложное высказывание F1®F2 вообще не имеет смысла. В математической логике при ложном высказывании F1 значение сложного высказывания (импликации) всегда истинно.
Пример: Пусть даны высказывания A:="по проводнику протекает электрический ток" и B - "вокруг проводника есть магнитное поле".
Тогда формула F=A®B отражает высказывание "если по проводнику протекает электрический ток, то вокруг проводника возникает магнитное поле".
Пример: Пусть даны высказывания A:="на упругое тело оказывают влияние внешние силы" и B:="в упругом теле возникают внутренние силы, препятствующие изменению формы”. Тогда формула F=(A®B) отражает высказывание "если на упругое тело оказывают влияние внешней силы, то в нем возникают внутренние силы, препятствующие изменению формы"
Эквиваленция (F1«F2) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F1 и F2 получают новую формулу F=(F1«F2), описывающую сложное высказывание. Значение этого высказывания истинно тогда и только тогда, когда оба операнда F1 и F2 имеют одинаковые значения.
В программировании для этого используют оператор IFF:
F1 IFF F2 истинно тогда и только тогда, когда F1 и F2 имеют одинаковое значение.
