Численное интегрирование

Раздел № 6

При вычислении определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница
b
! f(x)dx = F(b) - F(a) (6.1)

а

необходимо для подынтегральной функции f(x) найти первообразную F(x). Однако далеко не всякая подынтегральная функция f(x) имеет в качестве первообразной элементарную функцию.

Если интеграл не выражается через элементарные функции, то для его вычисления используют численные методы. Приведём примеры интегралов «не берущихся в конечном виде» :

, , , .

Численные методы интегрирования применяют и тогда, когда аналитические методы интегрирования не приме­нимы или слишком сложны.

Например, если необходимо вычислить определенный интеграл от таблично заданной функции, то применение численно­го интегрирования является неизбежным.

Формулы для приближенного вычисления интегралов часто, называют квадратурными.

6.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

(Котес Роджер (10. 7.1682–5.6.1716) – английский математик, друг и ученик И. Ньютона)

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

b
! y(x)dx = F(b) - F(a) (6.2)

а

При выводе квадратурных формул для приближенно­го вычисления определенного интеграла вспомним его геометрический смысл – интеграл равен площади кри­волинейной трапеции, ограниченной графиком подынтег­ральной функции, осью Ох и отрезками прямых х = a и х = b.

Разобьем отрезок [а, b] на п частей точками х_i:
x_i = a + ih, i = 0, 1,..., n; x₀ = a, x_n = b, (6.3)

Обозначим через y_i значения функции в точках x_i. За­меним подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа (4.17):

y(x) = L_n(x) = = × (6.4)

Тогда получим приближенную формулу для вычисле­ния интеграла:

» , (6.5)

где A_i – числовые коэффициенты, которые не зависят от подынтегральной функции и их значения для заданного п всегда можно опреде­лить.

Выведем формулы для вычисления коэффициентов A_i. Введем обозначения

, q^{[n + 1]} = q(q - l)...(q - n). Тогда многочлен Лагранжа можно записать в виде

L_n(x) = ,

Заменяя под знаком интеграла в (6.5) функцию у(х) многочленом L_n(x),

получим

= ,

= .

Отсюда следуют формулы для вычисления коэффици­ентов A_i:

A_i = = = ·= (b – a)H_i,

где i = 0, 1,..., n.

Коэффициенты H_i называются коэффициентами Котеca ивычисляются по формулам

H_i = , i = 0, 1,..., n. (6.6)

Далее рассмотрим простейшие квадратурные форму­лы, являющиеся частными случаями этих соотношений.