Практическая оценка погрешности. Метод Рунге-Ромберга

А) Равномерное распределение узлов

Вычисление производных с помощью интерполяционных формул

Б) Разностные формулы для частных производных

Разностные формулы для частных производных ана­логичны формулам (5.1)–(5.3), (5.10).

Пусть функция двух переменных и = f(x, у)определе­на в прямоугольной области а₁£ х £ b₁, а₂£ у£ b₂.

Определение 5.1.Назовем сеточной областьюмноже­ство точек (x_i, y_j),где

x_i = a₁+ ih₁, i = 0, 1, ... , n₁; h₁= (b₁ - a₁)/n₁,

y_j = a₂ + jh₂, j = 0, l, ... , n₂; h₂ = (b₂ - a₂)/n₂.

На рис. 5.4 изображена сеточная область для п₁= 5, п₂ = 5, которая состоит из 36 точек.

Введем обозначение u_ij = f(x_i, y_i).

Тогда для частных производных первого и второго порядка по переменной х можно записать разностные формулы (5.1)–(5.3) и (5.10):

. (5.12)

. (5.13)

. (5.14)

(5.15)

Аналогичные разностные формулы можно записать и для частных производных первого и второго порядка по переменной у:

. (5.16)

. (5.17)

. (5.18)

(5.19)

Запишем разностные формулы для смешанных производных:

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Разностные формулы для производных не подходят в тех случаях, когда необходимо вычислить производную в произвольной точке, не совпадающей с узлами x_i.В этих случаях естественно воспользоваться интерполяционны­ми формулами.

Пусть заданы значения функции y_i = f(x_i)в узлах х_i,равномерно распределенных на отрезке [а, b]:

x_i = а + ih, i = 0, 1,..., n; h = (b - a)/n.

Построим формулы приближенного дифференцирова­ния с помощью первой интерполяционной формулы Нью­тона(4.13), которую после некоторых упрощений мож­но записать в виде

Р_n(х) = y₀+ qóy₀+ , (5.23)

где q = (x – x₀)/h.

Мы предполагаем, что узлы интерполяции распреде­лены на отрезке [а, b]равномерно с шагом h.

Выберем в качестве х₀узел, ближайший к точке х. Дифференцируя (5.23) по переменной х и учитывая, что

,

получим приближенные формулы для вычисления про­изводных:

, (5.24)

. (5.25)

Чем больше слагаемых в формулах (5.24) и (5.25) ис­пользуется, тем выше точность вычисления производ­ных. Эти формулы дают хорошие приближения для то­чек, близких к значению х₀(левому концу отрезка [а, b]).

Если х = х₀,то q = 0 и для вычисления производных в узлах x_i получим формулы

, (5.26)

. (5.27)

Очевидно, что вторая интерполяционная формула Ньютонапозволяет вывести формулы для вычисления производных в точках, близких к правому краю х_n отрез­ка [а, b]:

Р_n(х) = y_n+ qóy_n-1+ , (5.28)

, (5.29)

. (5.30)

При x = x_n получим

, (5.31)

. (5.32)

Выведем формулы для вычисления производной с по­мощью интерполяционного многочлена Лагранжа:

L_n(x) =×,

y(x) = L_n(x) +

В случае равномерного распределения узлов с помо­щью обозначений

q = , q^[n+1] = q(q -1)...(q - n)

получим

П_n+1(x) = (х - х₀)(х – х₁) ...(х - х_п) = h^{n + 1}q(q -1)...(q-n) = hⁿ⁺¹ q^[n+1],П^׳_n+1(x_i) = (х_i - х₀)(х_i – х₁) ...(х_i - х_п) = hⁿi(i-1)...1 (-1)...(-n+i) = (-1)^n-1hⁿi!(n-i)!.

Тогда полином Лагранжа запишем в виде

L_n(x) = .

Найдем производную

y^׳(x) = L^׳_n(x) = . (5.33)

С помощью (5.33) получим формулы для вычисления производной в точках x_i при различных значениях п:

1) п = 2. Используются три точки, и производная в
этих точках выражается формулами

(5.34)

2) n = 3 (четыре точки).

(5.35)

3) n = 4 (пять точек).

(5.36)

б) Неравномерное распределение узлов

Пусть известны значения y_i функции в узлах х_i:

x₀ < x₁ <x₂ <...< x_n-1 <x_n.

В этом случае для вычисления производных использу­ют интерполяционный многочлен. Предположим, что точка х расположена ближе к начальному узлу х₀,тогда мы можем применить первый интерполяционный много­член Ньютона