Правило Рунге оценки погрешности

Г) Формулы Ньютона–Котеса высших порядков

Б) Формула трапеций

A) Формула прямоугольников

Формулы прямоугольников получаются заменой по­дынтегральной функции постоянным значением. В каче­стве такого значения выбирают значение функции в од­ной из точек отрезка [а, b]или на левом конце отрезка, или на правом конце, или в середине отрезка (рис. 6.1):

» y(a)(b – a), (6.7)

» y(b)(b – a), (6.8)

» y()(b – a), (6.9)

Если формулы (6.7)–(6.9) применить к каждой части [x_i, x_{i + 1}]частичного отрезка [а, b],получим общие формулы прямоу­гольников.Фактически, определенный интеграл в этом случае прибли­женно заменяется интегральной суммой:

» , (6.10)

» , (6.11)

» , (6.12)

Геометрически это означает, что площадь криволиней­ной трапеции приближенно заменяется площадью сту­пенчатой фигуры. В частности, рис. 6.2 иллюстрирует формулу (6.10).

Рис. 6.2.

Формулу (6.10) называют формулой левых прямоуголь­ников, (6.11) – формулой правых прямоугольников, а (6.12) – формулой средних прямоугольников.

Формулы прямоугольников практически не использу­ются из-за большой погрешности порядка O(h) (у форму­лы средних прямоугольников более высокий порядок O(h²)).

Положим в формуле (6.6) п = 1 и вычислим значения H_i:

H_i = , i = 0, 1;

H₀ = = = = ;

H₁ = = , откуда A₀ = A₁ = .

Таким образом, заменяя подынтегральную функцию многочле­ном Лагранжа первой степени получаем формулу тра­пеций:

» h, h = b – a. (6.13)

Геометрический смысл формулы трапеций (6.13) зак­лючается в том, что кривая у = у(х) заменяется отрезком прямой, проходящей через точки (х₀, у₀) и (х₁, у₁), или, в других обозначениях, (а, у(а)) и (b, у(b)) (рис. 6.3).

Если обобщить (6.13) для равномерного разбиения от­резка на п частей, приходим к общей формуле трапеций (рис. 6.4):

» = , . (6.14)

Рис. 6.4

Погрешность формулы трапеций (6.13) есть величина порядка O(h³). В этом можно убедиться, используя фор­мулу погрешности интерполяционного многочлена Лаг­ранжа. А для общей формулы трапеций (6.14) погреш­ность есть величина порядка O(h²), так как при суммировании погрешности накапливаются.

в) Формула Симпсона

(Симпсон Томас(20.8.1710–14.5.1751) – английский математик)

Применяя интерполяционную формулу Лагранжа при п = 2, получим значения коэффициентов:

H_i = , i = 0, 1, 2.

H₀ = = ,

H₁ = -= ,

H₂ = = ,

h = , A_i = (b – a)H_i = 2hH_i, A₀ = , A₁ = , A₂ = .

» . (6.15)

Геометрический смысл формулы Симпсона (6.15) зак­лючается в том, что кривая у = у(х) заменяется частью параболы, проходящей через три точки (х₀, у₀), (х₁, у₁) и (х₂, у₂) (рис. 6.5, а).

Формула Симпсона точна не только для полинома вто­рой степени, но и для полинома третьей степени в силу симметрии, показанной на рис. 6.5, б.

» (у₀ + 4у₁ + 2у₂ + 4у₃ +...+2у_2m-2 + 4y_2т-1 + у_2т) =

= (6.16)

Остаточный член общей формулы Симпсона (6.16) имеет порядок O(h⁴).

Полагая в формуле (6.6) п = 3, можно вычислить зна­чения коэффициентов A_i:

A₀ = , A₁ = A₂ = , A₃ = .

и получить квадратурную формулу Ньютона

» . (6.17)

Формула (6.17) имеет погрешность того же порядка, что и формула Симпсона (6.15), т. е. O(h⁵).

Приведем таблицу значений коэффициентов Котеса (табл. 1).

Таблица 1

Окончание табл. 1

Например, квадратурная формула Ньютона–Котеса для п = 5 имеет вид

» . (6.18)

Квадратурные формулы с нечетным числом узлов (п = 2, 4, 6) являются более удобными, т. е. выгоднее при­менять формулу Симпсона (6.15), чем формулу Ньютона (6.17), так как при одном и том же порядке погрешности формула Ньютона требует больше узлов (и больше вычис­лений), чем формула Симпсона. Аналогично, формула для п = 4 лучше, чем формула для п = 5, и т. д.

Приведем сводку квадратурных формул с остаточны­ми членами.

Формула трапеций:

».

».

Рассмотрим на примере общей формулы Симпсона (6.16) правило Рунге для оценки погрешности. Пусть подынтегральная функция четырежды непрерывно дифференцируема. Тогда формула остаточного члена имеет вид

R(h) = (6.19)

где ξ – некоторое число из отрезка [а, b].

Предположим, что производная y^IV(x) изменяется на этом отрезке медленно, и приближенно можно записать остаточный член в виде R(h) = Мh⁴, где М – постоянная. Пусть S_h, и S_2h, соответственно значения интеграла, полу­ченные по общей формуле Симпсона с шагом h и 2h. Тог­да справедливы соотношения

=, =.

Отсюда получим формулу для оценки погрешности

(6.20)

Уточненное значение интеграла по формуле Симпсона вычисляется с учетом поправки

= (6.21)

Для формулы трапеций также можно применить пра­вило Рунге. Так как формула остаточного члена общей формулы трапеций может быть представлена в виде R(h) = Mh², справедливы соотношения

=, =.

Отсюда получим формулу для оценки погрешности:

Mh² = R(h) = .

Теперь для интеграла можно записать (по правилу Рунге) формулу трапеций с поправкой

= (6.22)

Замечание. Здесь необходимо подчеркнуть, что описанное правило Рунге применимо только тогда, когда выполняются указанные выше условия для функции у(х) – существование производной соответствующего порядка и ее ограниченность, точнее говоря, возможность приближенного представления по­грешности в виде R(h) = Mh⁴ для формулы Симпсона (R(h) = Mh² для формулы трапеций), где М – постоянная. Погрешность представления остаточного члена в указанном виде считается достаточно малой. Эти условия для конкретной функции могут не выполняться, тогда правило Рунге не будет гарантировать приемлемый результат.