Графическое дифференцирование

Численное дифференцирование

Раздел № 5

Задача приближенного вычисления производной мо­жет возникнуть в тех случаях, когда неизвестно анали­тическое выражение для исследуемой функции. Функ­ция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического про­цесса.

Иногда, при решении некоторых задач на компьюте­ре, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т. е. убедить­ся в том, что погрешность численного метода находится в приемлемых границах.

Одним из эффективных методов решения дифференци­альных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица ее значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами.

Пусть известен график функции у = f(х) на отрезке [а,b].Можно построить график производной функции, вспомнив ее геометрический смысл. Воспользуемся тем фактом, что производная функции в точке х равна тан­генсу угла наклона к оси абсцисс касательной к ее графи­ку в этой точке.

Если х = х₀,найдем у₀ = f(x₀)с помощью графика и затем проведем касательную АВ к графику функции в точке (х₀, y₀) (рис. 5.1). Проведем прямую, параллельную касательной АВ, через точку (-1, 0) и найдем точку у₁ее пересечения с осью ординат. Тогда значение у₁равно тан­генсу угла наклона касательной к оси абсцисс, т. е. про­изводной функции f(x)в точке х₀:

у₁ = = tgα = f ^¢(x₀), и точка М₀ (х₀, у₁) принадлежит графику производной.

Рис. 5.1

Чтобы построить график производной, необходимо разбить отрезок [а, b]на несколько частей точками х_i, затем для каждой точки графически построить значение производной и соединить полученные точки плавной кри­вой с помощью лекал.

На рис. 5.2 показано построение пяти точек М_1, М₂,... , М₅и графика производной.

Алгоритм построения графика производной:

1. Строим касательную к графику функции у = f(x)в точке (х₁, f(x₁));из точки (-1, 0) параллельно касатель­ной в точке (х₁, f(x₁)) проведем прямую до пересечения с осью ординат; эта точка пересечения дает значение про­изводной f ^¢(х₁).Строим точку М₁(х₁, f ^¢(х₁)).

2. Аналогично построим остальные точки М₂, М₃, М₄и М₅.

3. Соединяем точки М₁, М₂, М₃, М₄, М₅плавной кривой.

M4

Рис. 5.2

Полученная кривая является графиком производной.

Точность графического способа определения производ­ной невысока. Мы приводим описание этого способа толь­ко в учебных целях.

Замечание. Если в алгоритме построения графика производ­ной вместо точки (-1, 0) взять точку (-l,0), где l > 0, то график будет построен в другом масштабе по оси ординат.

5.2.Разностные формулы

а) Разностные формулы для обыкновенных производных

Разностные формулы для приближенного вычисления производной подсказаны самим определением производной. Пусть значения функции в точках x_i обозначены через y_i:

y_i = f(x_i), x_i = a+ ih, i = 0, 1, ... , n; h =

Мы рассматриваем случай равномерного распределения точек на отрезке [a, b]. Для приближенного вычисления производных в точках x_i можно использовать следующие разностные формулы, или разностные производные.

. (5.1)

. (5.2)

. (5.3)

Так как предел отношения (5.1) при h ® 0 равен пра­вой производной в точке х_i, то это отношение иногда на­зывают правой разностной производнойв точке x_i.По аналогичной причине отношение (5.2) называют левой разностной производнойв точке x_i.Отношение (5.3) на­зывают центральной разностной производнойв точке x_i.

Оценим погрешность разностных формул (5.1)–(5.3), предполагая, что функция f(x) разлагается в ряд Тейло­ра в окрестности точки x_i:

f(x) = f(x_i)+ . (5.4)

Полагая в (5.4) х = x_i + h или х = х_i - h, получим

y_i+1 = f(x_i + h) = y_i + . (5.5)

y_i-1 = f(x_i - h) = y_i - . (5.6)

Учитывая (5.5) и (5.6), имеем

, (5.7)

, (5.8)

. (5.9)

Из последних соотношений следует, что разностная формула (5.3) имеет погрешность на порядок меньшую, чем разностные формулы (5.1) и (5.2).

Производные высших порядков можно приближенно вычислять по формулам, полученным с помощью после­довательного применения разностных соотношений (5.1)–(5.3).

Разностная формула для второй производной (разно­стная производная второго порядка)имеет вид

. (5.10)

Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка:

. (5.11)