Интерполяционные формулы Ньютона

Пусть узлы интерполяции распределены на отрезке равномерно х_i = а + ih, i = 0, 1, ... , п.Обозначим шаг из­менения переменной х через Dх = h.

Введем сначала понятия конечной разностии обоб­щенной степени,которые используются для записи ин­терполяционной формулы Ньютона.

Первой конечной разностьюфункции у = f(x)называ­ется выражение

Dу = f(x + Dх) – f(x).(4.5)

Конечная разность второго порядкаопределяется формулой

D²у = D(Dy)= D[f(х + Dх) - f(х)] = f(x + 2Dх) - 2 f(х + Dх) + f(x). (4.6)

Используя формулу бинома Ньютона, можно вывести формулу конечной разности п-го порядка:

Dⁿу = D(D^n-1y)= f(х + nDх) - f[х + (n - 1)Dx] +f[x + (n – 2)Dх] - ...+ (-1)ⁿ f(x), где . (4.7)

Справедливо утвержде­ние: конечная разность(n+1)-го порядка многочлена п-го порядка равна нулю.

Пусть функция f(x)задана своими значениями y_i = f(x_i)в равноотстоящих точках x_i = х₀ + ih, i = 0, 1,..., п.

Таблица конечных разностейфункции f(х) записыва­ется в одной из двух форм: горизонтальной или диаго­нальной таблицы разностей. Так как конечная разность использует 2 значения, столбец Dy_i содержит п значений, D²y_i – на одно значение меньше и т. д. Если задано п +1 значений функции, то таблица конечных разностей со­держит п столбцов, причем последний столбец содержит только одно значение. Общий вид горизонтальной таб­лицы, конечных разностейприведен в табл. 1.

Таблица 1

Обобщенной степенью п-го порядкачисла х называется произведение

x^[n] = x(x - h)(x -2h)(x - 3h)...[x - (n - 1)h], (4.8)

где h = const, а для n = 0 полагают x⁽⁰⁾ = 1.
Найдем конечные разности для обобщенной степени:

Dх^[n] = (х + h)⁽ⁿ⁾ - x⁽ⁿ⁾ = (x + h)x(x - h)(x -2h)...[x - (n - 2)h] - x(x - h)(x -2h)...[x - (n - 1)h] = x(x - h)(x -2h)(x - 3h)...[x - (n - 2)h]{( x + h) - [x - (n - 1)h]} = nh x^{[n - 1]}

Мы получили следующую формулу:

Dх^[n] = nh x^{[n - 1]} (4.9)

Пользуясь методом математической индукции, можно вывести и общую формулу

D^kх^[n] = n(n -1)...[n -(k - 1)] h ^kx^{[n - k]}. (4.10)

Выведем первую интерполяционную формулу Ньютона. Найдем многочлен Р_п(х), удовлетворяющий условиям Р_п(х_i)= y_i для i = 0, 1,..., n. Будем искать многочлен Р_п(х)в следующем виде:

P_п(х)= а₀ + a₁(х – х₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁) + ... + a_n(x – x₀)(x – x₁)...(x – x_n) =

= а₀ + a₁(х – х₀)^[1] + a₂(x – x₀)^[2] + ... + a_n(x – x₀)^[n].

Из условия Р_п(х₀)= y₀ следует a₀ = y₀.

Найдем первую конечную разность многочлена Р_п(х):

DР_n(х) = a₁h + 2hа₂(x – x₀)^[1] + ... + na_n(x – x₀)^[n-1].

Отсюда при х = х₀получим DР_n(х₀) = a₁h = Dy₀, т.е. a₁ = Dy₀/h. Аналогично можно получить общую формулу коэффициентов многочлена Ньютона:

a_k = . (4.11)

Теперь можно записать первую интерполяционную формулу Ньютона:

P_п(х)= y₀ + (х – х₀)^[1] + (x – x₀)^[2] + ... + (x – x₀)^[n] (4.12)

С помощью замены переменной q = (х - x₀)/h первую интерполяционную формулу Ньютона можно предста­вить в виде

P_п(х)= y₀ + q+ + ... + . (4.13)

Аналогичными рассуждениями выводится вторая интерполяционная формула Ньютона:

P_п(х)= y_n + (х - х_n) +(x - x_n)(x - x_n-1) +...+(x - x_n)(x - x_n-1)...(x - x₁), (4.14)

которая с помощью замены q = (х – x_n)/h приводится к виду

P_п(х)= y_n + q+ + ... + . (4.15)

Первая интерполяционная формула Ньютона приме­няется для интерполирования вблизи начала таблицы (около х₀), а вторая – для интерполирования вблизи кон­ца таблицы (около х_n).

4.2.Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционные формулы Ньютона (4.12), (4.15) пригодны лишь для равноотстоящих узлов интерполирования. Рассмотрим интерполяционную формулу Лагран­жа, которая применима при любом расположении узлов. Пусть дана система точек х₀, х_1, ..., х_n, принадлежащих некоторому отрезку [а, b], и известны соответствующие значения функции y_i = f(x_i).Найдем многочлен L_n(x),удовлетворяющий условиям L_n(х_i) = y_i.

При построении многочлена Лагранжа используются многочлены n-й степени р_i(х), принимающие значение 1 в точке x_i и нулевые значения в остальных узлах интер­поляции x_j, j ¹ i.Так как x_j,при j ¹ i являются корнями многочлена р_i(х), то справедливо разложение р_i(х) на мно­жители

р_i(х) = C_i(х - х₀)(х - х₁)...(х - х_i-1)(х - х_i+1) ...(х - x_n), i = 0, 1, ... , n.

Из условия p_i(x_i) = 1 находим значение константы C_i:

C_i= 1/(х_i - х₀)(х_i - х₁)...(х_i - х_i-1)(х_i - х_i+1) ...(х_i - x_n) и получаем выражение для многочленов p_i(x_i):

р_i(х) = . (4.16)

Интерполяционный многочлен Лагранжаимеет вид

L_n(x) = = × (4.17)

Формулу Лагранжа можно преобразовать так, чтобы упростить вычисления. Вынесем за знак суммы произве­дение

П_n+1(x) = (х - х₀)(х – х₁) ... (х - х_n),

которое является многочленом степени п +1. Получим

L_n(x) = П_n+1(x) .

Теперь формулу Лагранжа можно записать в виде

L_n(x) = П_n+1(x), (4.18)

где D_i = (х_i - х₀)(х_i - х₁)...(х_i - х_i-1)(x - x_i)(х_i - х_i+1) ...(х_i - x_n).

Обратите внимание на то, что в произведении D_i из n + 1 сомножителя вместо скобки (х_i - x_i)присутствует множитель (х – x_i).