Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа

Для анализа погрешности интерполяции использует­ся остаточный член интерполяционного многочлена Лаг­ранжа

f(x) – L_n(x) = = (4.19)

где x принадлежит отрезку [a, b], который определяется числами

а = min(x₀, х₁,..., х_п, х), b = mах(x₀, х₁,..., х_п, х). (4.20)

Формула (4.19) выводится с помощью функции

φ(х) = f(x) – L_n(x) – KП_n+1(x),

где параметр К выбирается из условия φ(х) = 0:

K=(f(x) – L_n(x))/ П_n+1(x).

Пусть функция f(x)имеет непрерывную производную (n +1)-го порядка. Тогда φ(х) имеет п +2 корня х₀, х_1,..., x_n, x и по теореме Ролля производная φ'(x) имеет п +1 корень, вторая производная φ"(х) равна нулю в п точках, а производная (п +1)-го порядка φ^{(n + 1)}(х) равна нулю в некоторой точке x,из отрезка [а, b],который определяет­ся условиями (4.20). Далее

φ^{(n + 1)}(х) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(х) – К(п +1)!,

так как производная (n+1)-го порядка от многочлена L_п(х)равна нулю, а у многочлена П_n+1(x) старший член равен xⁿ⁺¹и производная (n +1)-го порядка многочлена П_n+1(x) равна (n +1)!.

Из условия φ^{(n + 1)}(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) - К(п +1)! = 0 следует

K = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)/(п +1)!,

а из равенства φ(х) = f(x) - L_n(x) – KП_n+1(x)= 0 следует (4.19).

4.4.Равномерное приближение функции.Многочлены Чебышева

Определение 4.1. Многочлен Р_п(х) равномерно прибли­жает на отрезке [а, b] функцию f(x) с точностью до ε, если выполняется неравенство

| f(x) – P_n(x)| £ ε. (4.21)

Приведем без доказательства теорему Вейерштрасса.

Теорема 4.1.Если функция f(x)непрерывна на отрез­ке [а, b],то для любого ε > 0 найдется многочлен Р_n(х) достаточно высокой степени n, который равномерно при­ближает на отрезке [а, b]функцию f(x)с точностью до ε, т. е. выполняется (4.21).

Определение 4.2. Многочлен Р_п(х)называется много­членом наилучшего приближениядля функции f(x)на отрезке [а, b],если для любого многочлена Q_n(x) степени n выполняется неравенство

| f(x) – P_n(x)| £ | f(x) – Q_n(x) |. (4.22)

Многочлены Чебышеваопределяются рекуррентными формулами

Т₀(х) = 1, Т₁(х) = х, T_n+1(x) = 2хТ_п(х)- Т_п-1(х)при n ³ 1. (4.23)

Выпишем многочлены Чебышева Т_п(х) для п = 2, 3, 4, 5:

Т₂(х)= 2хТ₁(х) – T₀ = 2х² – 1,

Т₃(х) = 2хТ₂(х)– T₁ = 4х³ – 3х,

Т₄(х) = 8х⁴ – 8х² + 1,

Т₅(х) = 16х⁵ – 20х³ + 5х.

Старший коэффициент многочлена Т_n(х), т. е. коэффи­циент при х^п,равен 2^n-1.

Справедливо представление многочленов Чебышева через тригонометрические функции

T_n(x)= cos(n×arccos х), при п ³ 0. (4.24)

Поэтому |Т_n(х)| £ 1 для | х | £ 1. (4.25)

Корни многочлена Чебышева принадлежат отрезку [-1; 1]:

x_k = , k = 0, 1, ... , n - 1. (4.26)

Многочлены Чебышева Т_п(х) с четными индексами являются четными функциями, а с нечетными – нечет­ными функциями.

Многочлены Чебышева Т_n(х) обладают следующим замечательным свойством. Если умножить Т_п(х)на 2^1-n, получится многочлен, наименее уклоняющийся от нуляна отрезке [-1; 1].

Теорема 4.2. Если Р_п(х)– произвольный многочлен степени п со старшим коэффициентом 1, справедливо не­равенство

| P_n(x) | ³ | 2^1-n×T_n(x) | = = 2^1-n , (4.27)

где = 2^1-n×T_n(x).

В некоторых учебниках по численным методам многочленом Чебышева называется многочлен

Т_n(х) = 2^1-n×T_n(x), наименее уклоняющийся от нуляна отрезке [-1; 1].

Поясним смысл теоремы 4.2 на примерах.

Если п = 2, то теорема 4.2 утверждает, что наибольшее значение любой квадратной функции вида х² + рх + q на отрезке [-1; 1] не меньше 2^1-2 = 0,5.

Наибольшее значение любого многочлена вида х³ + рх² + qx + r на отрезке [-1; 1] не меньше 2^1-3 = 0,25.

Среди всех квадратных функций вида х² + рх + q наи­менее уклоняющимся от нуля на отрезке [-1; 1] много­членом является функция

2^1-2×T₂(x) = х² - 0,5.

Среди всех многочленов вида х³ + рх² + qx + r наиме­нее уклоняющимся от нуля на отрезке [-1; 1] является многочлен

2^1-3Т₃(х)= (4х³ - 3х)/4 = х³ - 0,75х.

Для произвольного отрезка [а, b]многочлен со стар­шим коэффициентом 1, наименее уклоняющийся от нуля, получается из заменой

.

Этот многочлен имеет вид

= (b - a)ⁿ×2^1-2n×T_n

Корнями многочлена являются точки

x_k = , k = 0, 1, ... , n - 1. (4.29)

Многочлены Чебышева используются для минимиза­ции погрешности интерполяционной формулы за счет оптимального выбора узлов интерполяции. В формуле остаточного члена (4.19) у многочлена П_n+1(х)старший коэффициент равен 1. Для минимизации погрешности интерполяционной формулы для функции f(x) на отрезке [а, b]нужно взять в качестве узлов интерполяции точки

x_k = , k = 0, 1, ... , n. (4.30)

являющиеся корнями многочлена . Тогда по­грешность интерполяции оценивается неравенством

| f(x) – L_n(x)|£ . (4.31)