Интерполяция

Под задачей интерполирования,или интерполяциипринято понимать следующую:

Пусть известны значения y_i функции f(x)в точках х_i i = 0, 1,..., п,называемых узлами интерполяции.Требу­ется найти такую функцию F(x)(интерполирующая фун­кция),значения которой в узлах интерполяции совпада­ют со значениями f(x):

F(x_i) = y_i, i = 0,l, ... , n. (4.1)

Предполагается, что интерполирующая функция F(x)зависит от конечного числа параметров, которые находят из условий (4.1). Если зависимость интерполирующей функции F(x)от параметров линейна, то говорят о линей­ной интерполяции,в противном случае – о нелинейной интерполяции.В последнем случае нахождение парамет­ров из системы (4.1) может быть трудной задачей.

Формула у = F(x)называется интерполяционнойи используется для вычисления значения функции f(x)в точке х,не совпадающей с узлами интерполяции. Эта операция называется интерполированием(интерполяци­ей) функции.При этом, если точка х не принадлежит от­резку [a, b], a = min(x₀, х₁,... , х_п), b = mах(x₀, х₁,... , х_п),то говорят об экстраполировании функции.

Часто в качестве интерполирующей функции исполь­зуется многочлен такого порядка Р_п(х)(интерполяционный многочлен),удовлетворяющий условию

y_i = P_n(x_i), i = 0, l,..., п. (4.2)

Так как многочлен n-го порядка определяется своими коэффициентами, то число параметров равно n +1 и ус­ловия (4.2) представляют систему линейных уравнений.

(4.3)

Определителем системы (4.3) является определитель Вандермонда

(4.4)

который отличен от нуля, если среди узлов интерполяции нет совпадающих. Отсюда следует, что задача построения интерполяционного многочлена разрешима и существует единственный интерполяционный многочлен, удовлетво­ряющий условиям (4.2). Как увидим ниже, формы запи­си интерполяционного многочлена могут быть разными. Отметим, что задача отыскания произвольного много­члена,удовлетворяющего условиям (4.2), некорректна. Если степень многочлена меньше п,то такого многочле­на не существует, но если больше п,то таких многочле­нов бесконечное множество.