Приближение функций

Раздел № 4

Рассмотрим задачи, в которых требуется найти способ приближенного вычисления значения функции в заданной точке. Эти задачи возникают в тех случаях, когда прямое вычисление данной функции у = f(x)для произвольного аргумента невозможно или слишком трудоемко.

Например, функция f(x)определяется как решение сложной задачи. Здесь могут быть известны некоторые свойства функции у = f(x),например, непрерывность и дифференцируемость.

Даже если функция легко вычисляется, может воз­никнуть необходимость ее замены, например, при вычис­лении некоторых определенных интегралов или специ­альных функций математической физики (ниже будут приведены примеры). В этом случае вместо подынтег­ральной функции нужно подобрать другую функцию, от которой интеграл легко вычисляется. Разумеется, новая функция должна быть приближенно равна в некотором смысле подынтегральной функции.

Если значения функции определяются в результате дорогостоящих экспериментов, могут быть найдены ее значения только в некоторых точках, а для вычисления значения в произвольной точке требуется приближенный метод. При этом может быть известен вид функции, но неизвестны параметры, входящие в определение функ­ции. В этом случае задача сводится к определению пара­метров известной функции.

Аппроксимацией(приближением) функции f(x)назы­вается нахождение такой функции g(x)(аппроксимирую­щей функции),которая была бы близка заданной. Крите­рии близости функций могут быть различны.

В том случае, когда приближение строится на дискрет­ном наборе точек (x_i, y_i), i = 1, 2, ... , n, аппроксимацию называют точечнойили дискретной.

При точечной квадратичной аппроксимациипара­метры а₁, а₂, ... , а_т аппроксимирующей функции g = g(x, а₁, а₂, ... , а_т), т £ п,определяются из условия

.

Если аппроксимация проводится на непрерывном мно­жестве точек (отрезке), она называется непрерывнойили интегральной.

При интегральной квадратичной аппроксимациифункции у = f(х) на отрезке [а, b] параметры аппрокси­мирующей функции g(x, а₁, а₂,... , а_m) определяются из условия

.

Примером непрерывной аппроксимации может слу­жить использование конечного числа слагаемых разло­жения функции в ряд Тейлора, т. е. замена функции мно­гочленом.

Наиболее часто встречающимся видом точечной аппрок­симации на дискретном наборе из (n+1)-й точки (x_i, y_i), i = 0, 1, ... , п является интерполяциямногочленом n-го порядка Р_п(х),коэффициенты которого определяются из условий

y_i = P_n(x_i), i = 0, 1, ... , п.

Применяя интерполяционный многочлен, можно вы­числить значения функции f(x)между узлами (провести интерполяцию в узком смысле),а также определить зна­чение функции за пределами заданного интервала (про­вести экстраполяцию).Следует иметь в виду, что по­грешность экстраполяции может быть велика.

В том случае, когда интерполяционный многочленедин для всей области интерполяции, говорят, что интер­поляция глобальная.Если между различными узлами интерполяционные многочлены различны, говорят о ку­сочнойили локальной интерполяции.Простейшим слу­чаем локальной интерполяции является кусочно-линей­ная интерполяция, когда в качестве интерполяционной функции выбирается полином первой степени, т.е. узловые точки соединяются отрезками прямой.