Алгоритм вычисления очередного (т + 1)-го собственного значения и

Метод скалярных произведений

Рассмотрим метод скалярных произведений для опре­деления наибольшего собственного значения и соответ­ствующего собственного вектора действительной матри­цы А.

Теорема 3.10.Транспонированная матрица А^T имеет те же собственные значения, что и матрица А. Пусть λ_i и λ_k –различные собственные значения матрицы А (и транспонированной матрицы А^T), хⁱ – собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению λ_i а y^k – собственный вектор матрицы А^T, отвечающий собственному значению λ_k.Тогда векторы хⁱ и у^k – орто­гональны.

Пусть требуется вычислить наибольшее собственное значение и соответствующий собственный вектор дей­ствительной матрицы А.В методе скалярных произведе­нийвместе с матрицей А используется транспонирован­ная матрица А^Т.

Алгоритм метода скалярных произведений:

1) зададим начальные приближения: х⁰ – ксобствен­ному вектору матрицы А и у⁰ = х⁰– к собственному век­тору транспонированной матрицы А^T;

k = 0;

2) вычислим (k + l)-e приближение к наибольшему собственному значению λпо формулам

x^{k +1}= Ах^k,y^{k +1} =A^Ty^k, λ_k =, k = k +1; (3.41)

3) если |λ_k+1- λ_k| ³ ε, переходим к п. 2, иначе – к п. 4;

4) конец.

7.Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметричной матрицы

Приведем алгоритм для вычисления нескольких пер­вых или всех собственных значений и соответствующих собственных векторов положительно определенной сим­метричной матрицы.

Пусть уже вычислены первые m собственных значений λ₁, λ₂, ..., λ_m и т соответствующих собственных векторов x₁, x₂, ..., x_m.

соответствующего собственного вектора:

0) выберем начальное приближение ; k = 0;

1) вычислим k-e приближение к собственному значе­нию λ_m+1:

; (3.42)

2) находим вектор из уравнения

; (3.43)

3) если m > 0, ортогонализируем вектор к первым т собственным векторам:

- ; (3.44)

4) нормируем полученный вектор:

; (3.45)

5) k = k+1.

Процесс 1–5 повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие сходимости итераций

(3.46)

где ε – заданная погрешность.

При вычислении первого собственного значения и со­ответствующего вектора п. 3 пропускается.

Этим алгоритмом можно вычислить все собственные значения и собственные векторы.